令g(x)=x2ex-e,x>0,则g′(x)=ex(x2+2x)>0,即g(x)在(0,+∞)上单调递增,
又g(1)=0,所以当0
(2)F′(x)=f (x)=+-3,且f (1)=-1<0,
xe
1
由(1)得?x1,x2,满足0 使得f (x)在(0,x1)上大于0,在(x1,x2)上小于0,在(x2,+∞)上大于0,即F (x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,而F (1)=0,x→0时,F (x)→-∞,x→+∞时,F (x)→+∞, 画出函数F (x)图象的草图,如图所示. 故F (x)在(0,+∞)上的零点有3个. 11 13.已知函数f (x)=sin x-x,x∈[0,π],cos x0=,x0∈[0,π]. 33①f (x)的最大值为f (x0);②f (x)的最小值为f (x0);③f (x)在[0,x0]上是减函数;④f (x)在[x0,π]上是减函数. 那么上面命题中真命题的序号是________.答案 ①④ 11 解析 f′(x)=cos x-,由f′(x)=0,得cos x=,即x=x0,因为x0∈[0,π],当0 33f′(x)>0;当x0 14.(2020·邢台模拟)若函数f (x)=x2+(a-1)x-aln x存在唯一的极值,且此极值不小于1, 2则实数a的取值范围为________. 答案 ,+∞ 2 [3 )3 解析 对函数求导得f′(x)=x-1+a1- 所以导函数存在唯一的零点,且零点大于0,故x=1是唯一的极值点,此时-a≤0,且f (1) 1 =-+a≥1,所以a≥.22 ()x 1?x+a??x-1? x ,x>0,因为函数存在唯一的极值, = a 15.已知函数 f (x)=(x-2)ex+e+1,g(x)= +xln x,对任意的m∈,3,总存在n∈,3 xee 使得g(m)≥f (n)成立,则实数a的取值范围为________.答案 [1,+∞) 解析 对任意的m∈,3, e 总存在n∈,3使得g(m)≥f (n)成立, e 1 即当x∈,3时,g(x)≥f (x)min恒成立, e∵f (x)=(x-2)ex+e+1,∴f′(x)=(x-1)ex,∴当x∈,1时,f′(x)<0,函数f (x)单调递减, e∴当x∈(1,3]时,f′(x)>0,函数f (x)单调递增,∴f (x)min=f (1)=1, a 当x∈,3时,g(x)=+xln x≥1, xe则a≥x-x2ln x, 记h(x)=x-x2ln x,h′(x)=1-2xln x-x, h′(1)=0,令k(x)=h′(x),则k′(x)=-3-2ln x,k′(x)在,3上单调递减,k′(x)≤k′ ee []1 []1 [][][)1 1 []1 []1 1 []∴h′(x)单调递减,∴当x∈,1时,h′(x)>0,h(x)单调递增,当x∈(1,3)时,h′(x)<0,h(x) e单调递减, ()1 ()1 =-1, ∴h(x)max=h(1)=1,故当a≥1时,g(x)≥1.故实数a的取值范围为[1,+∞).16.已知f (x)=ax2(a∈R),g(x)=2ln x.(1)讨论函数F (x)=f (x)-g(x)的单调性; (2)若方程f (x)=g(x)在区间[2,e]上有两个不相等的解,求a的取值范围.解 (1)F (x)=ax2-2ln x,其定义域为(0,+∞), 22?ax2-1? 所以F′(x)=2ax-=(x>0). xx 1 ①当a>0时,由 ax2-1>0,得 1 由ax2-1<0,得0 ,ax> ,a故当a>0时,F (x)在区间 ②当a≤0时,F′(x)<0(x>0)恒成立.故当a≤0时,F (x)在(0,+∞)上单调递减. (1a,+∞上单调递增,在区间0, )()a1a1 上单调递减. 综上,若a≤0,F (x)在(0,+∞)上单调递减;若a>0,F (x)在0,上单调递增. ()上单调递减,在 (1a,+∞ )(2)方法一 方程f (x)=g(x)在区间[2,e]上有两个不相等的根,等价于F (x)=f (x)-g(x)在区间[2,e]上有两个不等的零点. 由(1)知,若a≤0,F (x)在(0,+∞)上单调递减,最多有一个零点,所以a>0,F (x)在0, 上单调递减,在 若F (x)在区间[2,e]上有两个不等零点,则Error!即Error!解得Error! ln 24-e2ln 2ln e4-ln 2e2ln 81-ln 272ln 2由-==<<0,可知<,222222ee22e2ee22 所以该不等式组的解集为Error!, 即f (x)=g(x)在[2,e]上有两个不相等的解时,a的取值范围为 (1a,+∞上单调递增,易知F (x)在其定义域上连续, )()a1 [)ln 2 ,. 2e 1 2ln x 方法二 原条件等价于方程a=在区间[2,e]上有两个不相等的实数解. 2x2ln x 令φ(x)=,2≤x≤e, 2x 2x?1-2ln x? 由φ′(x)= 1 φ(e)=,e ln 2 而φ(e)=,φ(2)=. e22 ln 24-e2ln 2ln e4-ln 2e2ln 81-ln 27 又φ(e)-φ(2)=-==<<0,所以φ(e)<φ(2). 2222e22e2e2e 2 所以φ(x)min=φ(e), 1 如图可知φ(x)=a有两个不相等的解时,需≤a<.2e ln 2 2 x4 易知,φ(x)在(2,e)上为增函数,在(e,e)上为减函数,则φ(x)max= 即f (x)=g(x)在[2,e]上有两个不相等的解时,a的取值范围为 [)ln 2 ,. 2e 1