第二章单元测试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2018·成都诊断)若a<1,b>1,则下列命题中正确的是( )。 A.??>??
2
2
11
B.??>1
??
C.a
解析:由a<1,b>1,得a-1<0,b-1>0,所以(a-1)(b-1)<0,即ab 2 2.(2019·重庆第七中学高一期末)已知不等式x+x-c<0的解集为(-2,1),则c的值为( )。 A.-2 B.1 C.2 D.4 答案：C 22 解析:∵x+x-c<0的解集为(-2,1),∴-2和1是方程x+x-c=0的两个根,∴-c=-2×1,∴c=2。 2 3.设集合M={x|x+x-6<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N=( )。 A.[1,2) B.[1,2] C.(2,3] D.[2,3] 答案：A 解析:集合M=(-3,2),M∩N=(-3,2)∩[1,3]=[1,2)。 4.(2019·湖北八校联考)已知x>0,y>0,a+b=x+y,,cd=xy,则A.0 B.1 C.2 D.4 答案：D 解析:由题意知a+b=x+y,cd=xy,x>0,y>0,则 (??+??)???? 2 (??+??)???? 2 的最小值是( )。 =(??+??)???? 2 ≥ (2√????)???? 2 =4。当且仅当x=y时,等号 成立,故选D。 2 5.(2019·西安调考)当x∈R时,不等式kx-kx+1>0恒成立,则k的取值范围是( )。 A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.[0,4) D.(0,4) 答案：C 2 解析:当k=0时,不等式变为1>0,成立;当k≠0时,不等式kx-kx+1>0恒成立,则??>0,{即0 ??=(-??)-4??<0, 6.(2019·长沙调考)若不等式ax+bx+2>0的解集是{??|-2 2 11 A.-10 B.-14 C.10 答案：A 11 D.14 解析:易知a<0,-2,3为方程ax+bx+2=0的两 根,∴-2×3=??,∴a=-12,-2+3=-??,∴a=6b,∴b=-2,∴a-b=-10。 7.(2019·合肥模拟)已知-1 1 1 3 2 1 12 11 ?? 2 解析:∵-1 -??+1+??23 2 )=4,当且仅当x=-2时取1 8.(2019·南昌调考)设x,y为正数,则(x+y)(??+??)的最小值为( )。 A.6 B.9 C.12 答案：B 1 4 14 D.15 ??4?? ??4?? ?? 4???? 解析:(x+y)(??+??)=1+??+??+4=5+??+??≥5+2√??· =5+4=9。 111 9.(2019·长春调研)已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc>0,T=??+??+??,则( )。 A.T>0 B.T<0 C.T=0 D.T≥0 答案：B 解析:由a+b+c=0,abc>0,知三数中一正两负。不妨设 a>0,b<0,c<0,则 T=??+??+??= 111????+????+????????+??(??+??)????-??2 ?????? = ?????? =?????? 。∵ab<0,-c<0,abc>0,∴T<0。 1 2 10.(2019·济南调考)设x>0,则y=3-3x-??的最大值是( )。 A.3 B.3-3√2 C.3-2√3 D.-1 答案：C 解析:∵x>0,∴y=3-3x-??=3-(3??+??)≤3-2√3??·??=3-2√3。当且仅当3x=??,即x=3时,等号成立。故所求的最大值为3-2√3。 42 11.(2019·广东中山一中高二第一次段考)对一切实数x,不等式x+ax+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )。 A.[-2,2] B.[0,2] C.[-2,+∞) D.[-4,+∞) 答案：C 解析:由x+ax+1≥0,知:①当x=0时,1≥0,此时a∈R。 ②当x≠0时,可得a≥-x-??2=-(??2+??2)。又x+??2≥2, 2 2 4 2 1111√3111 ∴a≥-2。 12.(2019·浙江绍兴高三二模)若不等式x+2x A.(-2,0) B.(-∞,-2)∪(0,+∞) C.(-4,2) D.(-∞,-4)∪(2,+∞) 答案：C 解析:对任意a,b∈(0,+∞),??+ 2 2 ??16?? ?? 对任意a,b∈(0,+∞)恒成立,则实数x??16?? ?? ≥2√??· ??16???? =8(当且仅当??= ??16???? 时,等号成立), 所以只需x+2x<8,即(x-2)(x+4)<0,解得x∈(-4,2)。 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。将答案填在题中的横线上) 2 13.(2019·武汉调考)若方程x+(m-2)x+(5-m)=0的两根都比2大,则m的取值范围 是 。 答案：-5 解析:设f(x)=x+(m-2)x+(5-m)。由方程的两个根都大于2可知函数f(x)的大致图像如图。 2 ??≥0, ??2-16≥0, 因此有{??(2)>0,即{??+5>0,解得-5 ??-2 -2>2,??<-2, 14.(2019·浙江六市六校联考)已知正数x,y满足x+y++=10,则x+y的最大值为 。 ????19 答案：8 解析:∵+=10-(x+y), ????119 ∴(x+y)(??+??)=10(x+y)-(x+y)。 2 9 ∵(x+y)(??+??)=10+??+??≥10+6=16, ∴10(x+y)-(x+y)≥16,即(x+y)-10(x+y)+16≤0,∴2≤x+y≤8。 ∴x+y的最大值为8。 2 15.(2019·南京模拟)对于满足|a|≤2的所有实数a,使不等式x+ax+1>a+2x恒成立的x的取值范围是 。 答案：(-∞,-1)∪(3,+∞) 2 解析:原不等式恒成立问题转化为(x-1)a+x-2x+1>0在|a|≤2时恒成立。设??(-2)>0,??2-4??+3>0, f(a)=(x-1)a+x-2x+1,则f(a)在[-2,2]内恒大于0,故有{即{2解得 ??(2)>0,??-1>0, 2 2 2 199???? { ??>3或??<1, ∴x<-1或x>3,即x∈(-∞,-1)∪(3,+∞)。 ??>1或??<-1。 ????+2016 16.(2019·黑龙江哈师大附中高三开学测试)若函数y=????2+4????+3的定义域为R,则实数k的取值范围是 。 答案：[0,) 4 解析:∵函数y=????2+4????+3的定义域为R,∴对任意实数x,kx+4kx+3≠0。当k=0时,kx+4kx+3=3≠0满足题意;当k≠0时,需Δ=16k-12k<0,即0 三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 3 2 2 3 ????+2016 2 3 骤) 17.(10分)(2019·上海调研)已知a≤x-3x+4≤b的解集为{x|a≤x≤b}。求a,b的值。 43 2 答案：解:二次函数f(x)=4x-3x+4的对称轴方程为x=2, (1)当a≥2时,则满足a,b是方程x-3x+4=x的两根,解得a=,b=4(舍去)。 4 3 2??-3??+4=??,4 (2)若b≤2,则{4易得a=,b=4(舍去)。 323 ??-3??+4=??。4 3 3 2 3 2 4 (3)若a<2 4 4 3 2 3 2 b=3(舍去)或b=4,由对称性得a=0,故a的值为0,b的值为4。 18.(12分)(2019·苏州中学单元检测)完成下列题目。 (1)若bc-ad≥0,bd>0,求证: ??+???? ??+???? 4 ≤。 答案：∵bc-ad≥0,bd>0,∴bc≥ad,>0。 ???? 1 ∴??≥??。∴??+1≥??+1,即 2 ??????????+???? 2 ≥??+???? 2 ,即 ??+???? ≤ 2 ??+???? 2 。 (2)已知a>b>c,求证:ab+bc+ca>ab+bc+ca。 答案： a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2)=(a2b-bc2)+(b2c-ab2)+(c2a-ca2)=b(a2-c2)+b2(c-a)+ca(c-a)=(c-a)2 (b+ca-ba-bc)=(c-a)(c-b)(a-b)。 ∵a>b>c,∴c-a<0,c-b<0,a-b>0。 222222 ∴(c-a)(c-b)(a-b)>0,即ab+bc+ca-(ab+bc+ca)>0。 222222 ∴ab+bc+ca>ab+bc+ca。 19.(12分)(2019·西北工大附中单元检测)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求: (1)xy的最小值; 答案：由2x+8y-xy=0,得??+??=1。 ∵x>0,y>0, ∴1=+≥2√·=???????? 8 2 82 8 2 8√????82 2 ,则xy≥64。 +=1,??=16, ???? 当且仅当{82即{时,等号成立。 ??=4=??,??此时(xy)min=64。 (2)x+y的最小值。 答案：由2x+8y-xy=0,得??+??=1。 82 x+y=(??+??)·(x+y)=10+??+??≥10+2√??·??=18。 822??8??2??8?? +=1,??=12,???? 当且仅当{2??8??即{时,等号成立。 ??=6=,???? 此时(x+y)min=18。 2 20.(12分)(2019·东北师大附中单元测评)已知不等式ax-3x+2<0的解集为A={x|1 22 答案：∵不等式ax-3x+2<0的解集为A={x|1 ??=1,??-3+2=0, ∴{2解得{ ????-3??+2=0,??=2。(2)求函数y=(2a+b)x-(??-??)(??-1)(x∈A)的最小值。 答案：由(1)得y=4x+ 1 1??-1 1 82 =4(x-1)+ 3 1 ??-1 +4≥2√4(??-1)· 1 ??-1 +4=8, 当且仅当4(x-1)=??-1,即x=2∈A时函数y有最小值8。 21.(12分)(2019·山东新泰一中高二期中)经过长期观察得到:在交通繁忙的时段内,某公路汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为 y=??2+3??+900(v>0)。 (1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大,最大车流量为多少(精确到0.1千辆/时)? 答案：由题意有y=??2+3??+900= 710 710?? 710 900??+3+ ?? 710?? ≤3+2710√=,当且仅当v=90063 710900?? ,即v=30时等号成立。此 时ymax=63≈11.3(千辆/时)。 故当v=30千米/时时车流量最大,且最大车流量约为11.3千辆/时。 (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时,则汽车的平均速度应在什么范围内? 答案：由条件得??2+3??+900>10,整理得v-68v+900<0,即(v-50)(v-18)<0,∴18 22.(12分)(2019·合肥二中单元检测)已知二次函数y的二次项系数为a,且不等式y>-2x的解集为(1,3)。 (1)若方程y+6a=0有两个相等的实根,求y的表达式; 答案：∵y+2x>0的解集为{x|1 2 ∴y=a(x-1)(x-3)-2x=ax-(2+4a)x+3a。 ① 2 由y+6a=0,得ax-(2+4a)x+9a=0。 ② ∵方程②有两个相等的实根, ∴Δ=[-(2+4a)]-4a·9a=0,解得a=1或-5。 又∵a<0,∴a=-5。 代入①,得y=-5x-5x-5。 (2)若y的最大值为正数,求a的取值范围。 1 22 710?? 2 1 1 63
2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷一课一练(含解析)人教A版必修一
