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19.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b与反比例函数y= 且过点B(0,﹣2).
(m≠0)的图象交于点A(3,1),
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)如果点P是x轴上一点,且△ABP的面积是3,求点P的坐标. 【答案】(1)解:∵反比例函数y= ∴3=
(m≠0)的图象过点A(3,1),
∴m=3.
∴反比例函数的表达式为y= .
∵一次函数y=kx+b的图象过点A(3,1)和B(0,-2). ∴ 解得:
, ,
,即可求出m,从而得出反比例函
∴一次函数的表达式为y=x-2 (1)将A点的坐标代入
数的解析式;将A,B两点的坐标分别代入一次函数y=kx+b中,得出一个关于k,b的二元一次方程,求解得出k,b的值,从而得出一次函数的解析式; (2)解:令y=0,∴x-2=0,x=2,
∴一次函数y=x-2的图象与x轴的交点C的坐标为(2,0). ∵S△ABP=3,
PC×1+ PC×2=3. ∴PC=2,
∴点P的坐标为(0,0)、(4,0)
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,一次函数图像与坐标轴交点问题 【解析】【分析】(1)将A点的坐标代入
,即可求出m,从而得出反比例函数的解析式;将A,B两点
的坐标分别代入一次函数y=kx+b中,得出一个关于k,b的二元一次方程,求解得出k,b的值,从而得出一次函数的解析式;
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...
(2)首先根据直线与x轴交点的坐标特点得出一次函数y=x-2的图象与x轴的交点C的坐标;根据S△ABP=3,及S△ABP=S△CAP+S△PCB , 即可列出方程,求解得出PC的长,从而得出P点的坐标。 20.如图,已知Rt△ABC,∠C=90°,D为BC的中点,以AC为直径的⊙O交AB于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AE:EB=1:2,BC=6,求AE的长. 【答案】(1)证明:如图所示,连接OE,CE
∵AC是圆O的直径 ∴∠AEC=∠BEC=90° ∵D是BC的中点 ∴ED= BC=DC ∴∠1=∠2 ∵OE=OC ∴∠3=∠4
∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90°
∴∠OED=90°,即OE⊥DE 又∵E是圆O上的一点
∴DE是圆O的切线. (2)解:由(1)知∠BEC=90°
在RtΔBEC与RtΔBCA中,∠B为公共角, ∴ΔBEC∽ΔBCA ∴
即BC2=\
∵AE:EB=1:2,设AE=x,则BE=2x,BA=3x 又∵BC=6
...
...
∴62=2x×3x ∴x=
,即AE=
.
【考点】圆周角定理,切线的判定,相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)如图所示,连接OE,CE根据直径所对的圆周角是直角得出∠AEC=∠BEC=90°,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出ED=BC=DC,根据等边对等角得出∠1=∠2,∠3=∠4,根据等式的性质得出∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD,又∠ACD=90°,故∠OED=90°,即OE⊥DE,从而得出结论;
(2)首先判断出ΔBEC∽ΔBCA,根据相似三角形对应边成比例得出BE∶BC=BC∶BA,即BC2=BE×BA,AE:EB=1:2,设AE=x,则BE=2x,BA=3x,从而得出关于x的方程,求解即可得出答案。
21.已知如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合),过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值;
(3)△APD能否构成直角三角形?若能请直接写出点P坐标,若不能请说明理由;
(4)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大?若存在请求出点M的坐标,若不存在请说明理由. 【答案】(1)解:∵抛物线y=x+bx+c过点A(3,0),B(1,0),∴ ∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3
(2)解:令x=0,则y=3,∴点C(0,3),则直线AC的解析式为y=﹣x+3,设点P(x,x﹣4x+3).∵PD∥y轴,∴点D(x,﹣x+3),∴PD=(﹣x+3)﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x=﹣(x﹣ )2+ .∵a=﹣1<0,∴当x= 时,线段PD的长度有最大值
(3)解:①∠APD是直角时,点P与点B重合,此时,点P(1,0),②∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,∴抛物线的顶点坐标为(2,﹣1).∵A(3,0),∴点P为在抛物线顶点时,∠PAD=45°+45°=90°,此时,点P(2,﹣1).
综上所述:点P(1,0)或(2,﹣1)时,△APD能构成直角三角形 (4)解:如图,
2
2
,解得 ,
...
...
由抛物线的对称性,对称轴垂直平分AB,∴MA=MB,由三角形的三边关系,|MA﹣MC|<BC,∴当M、B、C三点共线时,|MA﹣MC|最大,为BC的长度,设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),则
2
,解得:
,∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3.∵抛物线y=x﹣4x+3的对称轴为直线x=2,∴当x=2时,y=﹣
3×2+3=﹣3,∴点M(2,﹣3),即,抛物线对称轴上存在点M(2,﹣3),使|MA﹣MC|最大. 【考点】待定系数法求二次函数解析式,二次函数与一次函数的综合应用,二次函数的实际应用-动态几何问题
【解析】【分析】(1)将A,B两点的坐标分别代入∵抛物线y=x+bx+c得出关于b,c的二元一次方程组,求解得出b,c的值,从而得出抛物线的解析式;
(2)根据抛物线与y轴交点的坐标特点得出C点的坐标,用待定系数法,求出直线AC的解析式;根据抛物线上点的坐标特点设出P点的坐标,根据平行于y轴的直线上的点的坐标特点,表示出D点的坐标,从而表示出PD的长,根据PD长度的函数特点即可得出答案;
(3)①∠APD是直角时,点P与点B重合,此时,点P(1,0),②将抛物线配成顶点式,得出其顶点坐标为(2,﹣1).根据A点坐标,点P为在抛物线顶点时,∠PAD=45°+45°=90°,此时,点P(2,﹣1).综上所述,即可得出答案;
(4)由抛物线的对称性,对称轴垂直平分AB,根据垂直平分线的性质得出MA=MB,由三角形的三边关系,|MA﹣MC|<BC,故当M、B、C三点共线时,|MA﹣MC|最大,为BC的长;利用待定系数法求出直线BC的解析式;根据抛物线对称轴上的点的坐标特点,将x=2代入直线B错的解析式,即可得出M的坐标,即,抛物线对称轴上存在点M(2,﹣3),使|MA﹣MC|最大.
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2019-2020学年山东省聊城市莘县中考数学一模试卷(有标准答案)
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