...
19.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y= 且过点B（0，﹣2）．
（m≠0）的图象交于点A（3，1），
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标． 【答案】（1）解：∵反比例函数y= ∴3=
（m≠0）的图象过点A（3，1），
∴m=3．
∴反比例函数的表达式为y= ．
∵一次函数y=kx+b的图象过点A（3，1）和B（0，-2）． ∴ 解得：
， ，
,即可求出m,从而得出反比例函
∴一次函数的表达式为y=x-2 （1）将A点的坐标代入
数的解析式；将A,B两点的坐标分别代入一次函数y=kx+b中，得出一个关于k,b的二元一次方程，求解得出k,b的值，从而得出一次函数的解析式； （2）解：令y=0，∴x-2=0，x=2，
∴一次函数y=x-2的图象与x轴的交点C的坐标为（2，0）． ∵S△ABP=3，
PC×1+ PC×2=3． ∴PC=2，
∴点P的坐标为（0，0）、（4，0）
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图像与坐标轴交点问题 【解析】【分析】（1）将A点的坐标代入
,即可求出m,从而得出反比例函数的解析式；将A,B两点
的坐标分别代入一次函数y=kx+b中，得出一个关于k,b的二元一次方程，求解得出k,b的值，从而得出一次函数的解析式；
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...
（2）首先根据直线与x轴交点的坐标特点得出一次函数y=x-2的图象与x轴的交点C的坐标；根据S△ABP=3，及S△ABP=S△CAP+S△PCB ， 即可列出方程，求解得出PC的长，从而得出P点的坐标。 20.如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长． 【答案】（1）证明：如图所示，连接OE，CE
∵AC是圆O的直径 ∴∠AEC=∠BEC=90° ∵D是BC的中点 ∴ED＝ BC＝DC ∴∠1=∠2 ∵OE=OC ∴∠3=∠4
∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90°
∴∠OED=90°,即OE⊥DE 又∵E是圆O上的一点
∴DE是圆O的切线. （2）解：由（1）知∠BEC=90°
在RtΔBEC与RtΔBCA中，∠B为公共角， ∴ΔBEC∽ΔBCA ∴
即BC2=\
∵AE:EB=1：2，设AE=x，则BE＝2x，BA=3x 又∵BC=6
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∴62=2x×3x ∴x=
,即AE=
.
【考点】圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）如图所示，连接OE，CE根据直径所对的圆周角是直角得出∠AEC=∠BEC=90°，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出ED=BC＝DC，根据等边对等角得出∠1=∠2，∠3=∠4，根据等式的性质得出∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD，又∠ACD=90°，故∠OED=90°,即OE⊥DE，从而得出结论；
（2）首先判断出ΔBEC∽ΔBCA，根据相似三角形对应边成比例得出BE∶BC＝BC∶BA，即BC2=BE×BA，AE:EB=1：2，设AE=x，则BE＝2x，BA=3x，从而得出关于x的方程，求解即可得出答案。
21.已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；
（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）解：∵抛物线y=x+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴ ∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3
（2）解：令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣ ）2+ ．∵a=﹣1＜0，∴当x= 时，线段PD的长度有最大值
（3）解：①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．
综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形 （4）解：如图，
2
2
，解得 ，
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由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则
2
，解得：
，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣
3×2+3=﹣3，∴点M（2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大． 【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将A,B两点的坐标分别代入∵抛物线y=x+bx+c得出关于b,c的二元一次方程组，求解得出b,c的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线与y轴交点的坐标特点得出C点的坐标，用待定系数法，求出直线AC的解析式；根据抛物线上点的坐标特点设出P点的坐标，根据平行于y轴的直线上的点的坐标特点，表示出D点的坐标，从而表示出PD的长，根据PD长度的函数特点即可得出答案；
（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②将抛物线配成顶点式，得出其顶点坐标为（2，﹣1）．根据A点坐标，点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述，即可得出答案；
（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，根据垂直平分线的性质得出MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，故当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长；利用待定系数法求出直线BC的解析式；根据抛物线对称轴上的点的坐标特点，将x=2代入直线B错的解析式，即可得出M的坐标，即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．
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2019-2020学年山东省聊城市莘县中考数学一模试卷(有标准答案)
