湖南省2016年普通高等学校对口招生考试数学试题及参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） （ ）1．设全集U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={5},则(CUA)∪B=
A．{5} B．{3,4,5} C．{3,4} D．{1,2,5}
【解析】∵CUA??3,4,5?，∴(CUA)∪B={3,4,5}．故选B
1xf(x)?()?2,x?[?1,2]的最大值为 （ ）2．
2A．4 B．3 C． D．
1xf(x)?()?2,是减函数，∴f(?1)?4为该函数在区【解析】∵函数
25294间[-1,2]上的最大值．故选A
（ ）3．“x??1或x?2”是“x??1”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】∵前者
后者,后者亦
前者．故选D
（ ）4．不等式2x?1?5的解集为
A．?xx?2? B．?xx??3? C．?x?3?x?2? D．?xx??3或x?2? 【解析】由2x?1?5?2x?1??5或2x?1?5,
解得x??3或x?2．故选D
（ ）5．已知向量a?(2,3)，b?(1,m)，且a//b，则m=
A．
33 B．? C．3 D．?3 22???? 1
【解析】由?2133．故选A ?m?m2π4α?(?,0),则tanα? （ ）6．已知cosα?,
25A． B．? C．? D．
π4α?(?,0)?sinα??1?cos2α??3， 【解析】由cosα?,
25535433443∴tanα?sinα3??．故选C cosα4（ ）7．已知定义在R上的奇函数f(x),当x?0时,f(x)?x2?2x,则f(?1)?
A．3 B．1 C．-1 D．-3 【解析】依题意，知f(?1)?-f(1)??(12?2?1)??3．故选D （ ）8．设a?1.7，b?log30.2，c?0.25，则
0.2A．a?b?c B．b?a?c C．c?b?a D．b?c?a 【解析】由指数及对数函数性质知b﹤0，0﹤c﹤1,a﹥1．故选D （ ）9．已知点P(4,5),点Q在圆C:(x?1)2?(y?1)2?4上移动,则PQ的取值范围为
A．[1,7] B．[1,9] C．[3,7] D．[3,9] 【解析】∵PC?5,r?2,PQ?[PC?r,PC?r]．故选C
（ ）10．已知a,b,c为三条不重合的直线，给出下面三个命题： ①若a?b,a?c,则b//c；②若a?b,a?c,则b?c；
③若a//b,b?c,则a?c，其中正确的命题为 A．③ B．①② C．①③ D．②③ 【解析】由于①②都错，只有③才是对的．故选A 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
2
11．袋中有6个红色球，3个黄色球，4个黑色球，从袋中任取一个球，则取到的球不是黑球的概率为 ． 【解析】p(非黑)?1?49? 131312．已知数列?an?的前n项和Sn?n2?2n，则a2? ． 【解析】a2?S2?S1?8?3?5
13．若不等式x2?x?c?0的解集为?x?2?x?1?,则c= ． 【解析】由?2?1??c?c?2
14．6位同学站成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻，共有 种不同的排法（用数字作答）． 【解析】用捆绑法N?P22P55?240
2215．已知A,B为圆x?y?1上的两点，AB?3,O为坐标原点，则
AB?OA? ．
??1?1?31??，即?AOB?1200， 2?1?12????30 ∴?AB?OA??150，故AB?OA?3?1?cos1500??
2【解析】依题意，有cos?AOB?三、解答题(本大题共7小题，每小题都为10分，其中第21、22小题为选做
题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．已知函数f(x)?log2(x?2)．(Ⅰ)求f(x)的定义域；(Ⅱ)若
f(m)?f(m?1)?1，求m的值．
【解析】(Ⅰ)由x?2?0?x?2，即f(x)的定义域为(2,??)；
?m?2?0? (Ⅱ) 依题意，有?(m?1)?2?0，解得m?4．
?(m?2)(m?3)?2?17.在?ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
3
2ππ,A?．(Ⅰ)求sinB的值；(Ⅱ)求sin(?B)的值． 336bsinA1?； 【解析】(Ⅰ)由正弦定理得sinB?a3a?3，b? (Ⅱ)∵b?a,∴B?A，故cosB?1?sin2B? ∴sin(?B)?sincosB?cossinB?π622， 3π6π63． 218．已知各项都为正数的等比数列?an?中，a1?1,a3?3．(Ⅰ)求?an?的通项公式；(Ⅱ)设?an?的前n项和为Sn，且Sn?13(3?1)，求n的值． 【解析】(Ⅰ)设公比为q,依题意有1?q2?3且q?0，解得q?3，
∴?an?的通项公式为an?a1qn?1?(3)n?1?3n?12；
a1(qn?1)1?[(3)n?1](3)n?1(Ⅱ)∵Sn?, ??q?13?13?1而Sn?13(3?1)?13(3?1)(3?1)3?1?263?1,
∴(3)n?1?26,即(3)n?27，解得n?6．
19．如图1，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AA1?3,
AB?AC?1,AB?AC．(Ⅰ)证明：BA?平面ACC1A1；(Ⅱ)求直线B1C与
平面ACC1A1所成角的正弦值． 【解析】
(Ⅰ)证：∵A1A⊥底面ABC，∴BA?A1A， ?BA?A1A?由?BA?AC?BA?平面ACC1A1； ?AA?AC?A?1A1 B1 C1 A C 图1 B (Ⅱ)连A1C，则?B1CA1即为直线B1C与平面ACC1A1所成的角，
4
在Rt?B1CA1中,A1B1?1,A1C?AA12?AC2?2,?B1C?A1B12?A1C2?5 ∴sin?B1CA1?值为
5． 5B1A115,即直线B1C与平面ACC1A1所成角的正弦??B1C555x2y220．已知椭圆C:2?．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)?1(a?2)的离心率e?34a5设直线l:y?kx?与椭圆C相交于A,B两点，且AB中点的横坐标为1，求k的
3值．
【解析】
a2?455??a2?9, (Ⅰ)依题意,知椭圆的焦点在x轴上,由e??293ax2y2??1； ∴椭圆C的方程为945x2y2??1及y?kx??(9k2?4)x2?30kx?11?0, (Ⅱ)联合
39430k29k?4?1,解得k?1或k?4． 依题意,有
332
选做题：请考生在第21、22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第
21题计分．作答时请写清题号．
21．已知复数z?1?ai(a?R)，且z?2．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)若a?0且
zn?R(n?N*且n?12)，求n的所有值．
【解析】(Ⅰ) 依题意,有1?a2?2，解得a??3；
(Ⅱ)∵z?1?3i?2(cosππnπnπ?isin)，∴zn?2n(cos?isin)， 3333nπ6、9、12． ?0，故n?3、35
由于zn?R(n?N*且n?12)，∴sin
湖南省2016年普通高等学校对口招生考试数学试题及参考答案
