课时跟踪检测（二十一） 复数代数形式的乘除运算
层级一 学业水平达标
1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( ) A．6－4i C．6＋4i
B．－6－4i D．－6＋4i
解析：选D (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.
2．(全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝( ) A．－2－i C．2－i
B．－2＋i D．2＋i
1＋i
解析：选C z－1＝＝1－i，所以z＝2－i，故选C.
i3．(广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝( ) A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i
D．3－2i
解析：选A ∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴z＝2－3i. 4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( ) A．－1 024 C．0
B．1 024 D．512
解析：选C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10
＝0.
2＋ai
5．(全国卷Ⅱ)若a为实数，且＝3＋i，则a＝( )
1＋iA．－4 C．3
B．－3 D．4
2＋ai(2＋ai)(1－i)a＋2a－2
解析：选D ＝＝＋i＝3＋i，
221＋i(1＋i)(1－i)a＋2
??2＝3，所以?
a－2??2＝1，
解得a＝4，故选D.
a
6．(天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则b的值为________．
解析：因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，
又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1， a所以＝2.
b答案：2
7．设复数z＝1＋2i，则z2－2z＝________. 解析：∵z＝1＋2i，
∴z2－2z＝z(z－2)＝(1＋2i)(1＋2i－2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案：－3
a
8．若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.
1－ia
解析：∵a，b∈R，且＝1－bi，
1－i则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，
??a＝1－b，∴? ??0＝1＋b.??a＝2，∴? ??b＝－1.
∴|a＋bi|＝|2－i|＝答案：5
(i－2)(i－1)－3－2i9．计算：＋. (1＋i)(i－1)＋i2－3i
(i－2)(i－1)(i－2)(i－1)－3－2i(－3－2i)(2＋3i)
解：因为＝2＝＝i－1，＝＝
(1＋i)(i－1)＋ii－1＋i－2＋i2－3i(2－3i)(2＋3i)
(i－2)(i－1)
－13i
＝－i， 13
－3－2i
所以＋＝i－1＋(－i)＝－1.
(1＋i)(i－1)＋i2－3i
(i－2)(i－1)
10．已知z为z的共轭复数，若z·z－3iz＝1＋3i，求z. 解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
22＋(－1)2＝5.
则z＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
22??a＋b－3b＝1，则有?
?－3a＝3，?
???a＝－1，?a＝－1，解得?或?
?b＝0，???b＝3.
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
层级二 应试能力达标
1．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
A．A C．C
B．B D．D
解析：选B 设z＝a＋bi(a，b∈R)，且a＜0，b＞0，则z的共轭复数为a－bi，其中a＜0，－b＜0，故应为B点．
1＋ai2．设a是实数，且∈R，则实数a＝( )
1＋iA．－1 C．2
B．1 D．－2
1＋ai1＋ai
解析：选B 因为∈R，所以不妨设＝x，x∈R，则1＋ai＝(1＋i)x＝x＋xi，
1＋i1＋i
??x＝1，
所以有?所以a＝1.
??a＝x，
a＋i?3．若a为正实数，i为虚数单位，??i?＝2，则a＝( ) A．2 C.2 解析：选B ∵或a＝－3(舍)．
B.3 D．1
a＋i?a＋i?
＝(a＋i)(－i)＝1－ai，∴??＝|1－ai|＝i?i?1＋a2＝2，解得a＝3
(－1＋3i)3－2＋i
4．计算＋的值是( )
(1＋i)61＋2iA．0 C．i
解析：选D 原式＝
(－1＋3i)3[(1＋i)2]3
B．1 D．2i
(－1＋3i)3－2＋4i＋i＋2
＋＝＋＝
(2i)35(1＋2i)(1－2i)(－2＋i)(1－2i)
13
－＋i3
221i
＋i＝＋i＝＋i＝2i. －i－i(－i)i
z1
5．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
z2z1a＋2i(a＋2i)(3＋4i)3a＋4ai＋6i－8
解析：＝＝＝ z23－4i259＋16(3a－8)＋(4a＋6)i＝，
25z1
∵为纯虚数， z2
??3a－8＝0，∴? ?4a＋6≠0，?
8∴a＝. 38
答案：
3
6．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________． 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则z2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，
22??a－b＝3，∴? ??2ab＝4，
???a＝2，?a＝－2，解得?或?
???b＝1?b＝－1.
∴|z|＝a2＋b2＝5.
答案：5
(1＋i)2＋3(1－i)a
7．设复数z＝，若z2＋＜0，求纯虚数a.
z2＋iaa
解：由z2＋z＜0可知z2＋z是实数且为负数． (1＋i)2＋3(1－i)2i＋3－3i3－iz＝＝＝＝1－i.
2＋i2＋i2＋i∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m∈R且m≠0)，则 mi－mami
z2＋z＝(1－i)2＋＝－2i＋
21－imm?
－2i＜0， ＝－＋??2?2
?－2＜0，
∴?m
?2－2＝0，
m
∴m＝4，∴a＝4i.
(1＋i)3(a＋bi)
8．复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，z对应的点
1－i是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．
(1＋i)2·(1＋i)
解：z＝(a＋bi)
1－i＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi. 由|z|＝4，得a2＋b2＝4，①
∵复数0，z，z对应的点构成正三角形， ∴|z－z|＝|z|.
把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.② 又∵z对应的点在第一象限， ∴a＜0，b＜0.
??a＝－3，由①②得?
?b＝－1.?
高中数学人教A版选修2-2：课时跟踪检测(二十一) 复数代数形式的乘除运算 Word版含解析
