第二章 一元线性回归分析
思考与练习参考答案
2.1 一元线性回归有哪些基本假定?
答： 假设1、解释变量X是确定性变量，Y是随机变量；
假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性： E(εi)=0 i=1,2, …,n Var (εi)=?2 i=1,2, …,n Cov(εi, εj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假设3、随机误差项ε与解释变量X之间不相关： Cov(Xi, εi)=0 i=1,2, …,n
假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 εi~N(0, ?2 ) i=1,2, …,n 2.2 考虑过原点的线性回归模型 Yi=β1Xi+εi i=1,2, …,n
误差εi（i=1,2, …,n）仍满足基本假定。求β1的最小二乘估计 解： 得：
?X)2?)2?(Y??Qe??(Yi?Y?ii1ii?1i?1nnn?Qe?X)X?0??2?(Yi??1ii???i?11???1?(XY)iii?1nn?(Xi)2i?12.3 证明（2.27式），?ei =0 ，?eiXi=0 。
????X))2?)??(Y?(?Q??(Yi?Yii01i211nn证明：
????X???其中： Yi01i
即： ?ei =0 ，?eiXi=0
?ei?Yi?Yi?Q?0???0?Q?0???12.4回归方程E（Y）=β0+β1X的参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在什
么条件下等价?给出证明。
答：由于εi~N(0, ?2 ) i=1,2, …,n
所以Yi=β0 + β1Xi + εi~N（β0+β1Xi , ?2 ) 最大似然函数：
n L(?,?,?2)??nf(Y)?(2??2)?n/2exp{?1[Yi?(?0??1?0,Xi)]2}01i?1ii2?2?i?1 n1n222Ln{L(?0,?1,?)}??ln(2??)?[Y?(????,X)]?i010i22?2i?1
?就是β0，β1的最大似然估计值。 ?，?使得Ln（L）最大的?10同时发现使得Ln（L）最大就是使得下式最小，
上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。值得注意的是：最大似然估计是在εi~N(0, ?2 )的假设下求得，最小二乘估计则不要求分布假设。
所以在εi~N(0, ?2 ) 的条件下， 参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计等价。
????X))2?)2??(Y?(?Q??(Yi?Yii01i11nn?是β0的无偏估计。 2.5 证明?0nnXi?X1?)?E(Y???X)?E[证明：E(?Y?XYi) ??01ini?1Lxxi?1nXi?XX?X11?E[?(?X)Yi]?E[?(?Xi)(?0??1Xi ??i)]
nLnLi?1i?1xxxxnXi?XX?X11?E[?0??(?X)?i]??0??(?Xi)E(?i)??0LxxLxxi?1ni?1nnn2.6 证明 证明：
?)?(1?Var(?0nnX2??Xi?1ni?X?1X2)???(?)nLxx222nX?XXi?X211i?)?Var[(?XVar(?)Y]?[(?X)Var(?0??1Xi ??i)] ??0iLxxLxxi?1ni?1nXi?XXi?X22121X22??[()?2X?(X)]??[?]?
nnLxxLxxnLxxi?1n2.7 证明平方和分解公式：SST=SSE+SSR
nn证明： 2?)?(Y??Y]2SST???Yi?Y???[Yi?Yiii?1i?1
??
??Y??Yii?1nn??2?)(Y??Y??)?2?Yi?Y?Yi?Yiiii?1i?1nn??n??2??i?1???Y2??)Y?Yi?Yiii?1???2?SSR?SSE2.8 验证三种检验的关系，即验证： （1）t?(n?2)r1?r2?2Lxx?SSR/121；（2）F? ??t2?SSE/(n?2)?rLyyLxxSSE(Lxx(n?2))n证明：（1）
?L???xxt???2???Lxx?（2）
nn?rLyySSE(n?2)?n?2rn?2r?
2SSESST1?r????x?y)?(y???(x?x)?y)?(??i?y)??(?SSR??(y???1(xi?x))2???12Lxx01i1i222i?1i?1i?1i?1n?2gL?SSR/1?F??12xx?t2
?SSE/(n?2)?1(xi?x)222.9 验证（2.63）式：Var(ei)?(1??)?
nLxx证明：
?i)?var(yi)?var(y?i)?2cov(yi,y?i)var(ei)?var(yi?y????x)?2cov(y,y???(x?x))?var(y)?var(?i01ii1i(xi?x)21(xi?x)221????[?]?2?[?]nLxxnLxx22
1(xi?x)22?[1??]?nLxx?(x?x))?Cov(y,y)?Cov(y,??(x?x))Cov(yi,y??1iii1in(x?x)1nyi)其中：?Cov(yi,?yi)?(xi?x)Cov(yi,?ini?1Lxxi?1
12(xi?x)221(xi?x)22?????(?)?nLxxnLxx?2?2.10 用第9题证明证明：
?e?2in?2是?2的无偏估计量
1n1n2?)??)?E(?E(yi?yE(ei2)??n?2i?1n?2i?121n1n1(xi?x)22?var(ei)?[1??]? ??n?2i?1n?2i?1nLxx?1(n?2)?2??2n?22.11 验证决定系数与F值之间的关系式
r2?F
F?n?2证明：
SSRSSR1??SSTSSR?SSE1?SSE/SSR1?
n?21?SSR/(SSE/(n?2))1F??n?2F?n?21?Fr2?2.14 为了调查某广告对销售收入的影响，某商店记录了5个月的销售收入y（万元）和广告费用x（万元），数据见表2.6，要求用手工计算： 表2.6
月份 X Y 1 1 10 2 2 10 3 3 20 4 4 20 5 5 40 （1） 画散点图（略）
（2） X与Y是否大致呈线性关系？ 答：从散点图看，X与Y大致呈线性关系。
（3） 用最小二乘法估计求出回归方程。
计算表
X 1 2 3 4 5 和15 均3 Y 10 10 20 20 40 100 均20 (Xi?X)2 (Yi?Y)2 (Xi?X)(Yi?Y) ? Yi6 13 20 27 34 和100 均20 ??Y)2 (Y??Y)2 (Yiii（-14）2 （-7）2 0 72 142 SSR=490 4 1 0 1 4 和Lxx=10 100 100 0 0 400 Lyy=600 20 10 0 0 40 和Lxy=70 （-4）2 （3）2 0 72 （-6）2 SSE=110 70??Y???X?20?3?7??1.?7,?01Lxx10????X??1?7X???回归方程为： Y01? ?1??（4） 求回归标准误差
先求SSR（Qe）见计算表。 所以
Lxy ???Qe110??6.055.n?23? , ??（5） 给出0? 1 的置信度为95%的区间估计； ? 的置信区间是 ??由于(1-?)的置信度下，(?ii查表可得 t?/2(n?2)?t0.025(3)?3.182??t??s)?t??s??,??i?2i2iS???1?2?Lxx?36.667?1.915 10所以? 1的95%的区间估计为：（7—3.182*1.915，7+3.182*1.915），即（0.906,13.094）。
?S??01X2125?(???)?36.667(?)?6.351 nLxx5102所以? 0 的95%的区间估计为：（-1-3.182*6.351，-1+3.182*6.351），
?即（-21.211, 19.211）。?0的置信区间包含0，表示?0不显著。
（6） 计算x和y的决定系数
^^
R2?SSRSSR490???0.817SSTLyy600
应用回归分析,第2章课后习题参考答案
