（2）由AB=6，AC=10，可得BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，利
用勾股定理可解得x，由平行四边形的面积公式可得结果．
解：（1）证明：∵折叠，∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，
∴∠ANF=90°，∠CME=90°，
∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∴AM=CN，∴AM﹣MN=CN﹣MN，即AN=CM，
在△ANF和△CME中， ，∴△ANF≌△CME（ASA），∴AF=CE，
又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，
在Rt△CEM中，（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5， ∴四边形AECF的面积的面积为：EC?AB=5×6=30．
10．考点：图形的翻折、相似三角形、勾股定理。
分析：利用翻折的性质，翻折前后对应边对应角相等，然后易证三角形相似，
利用勾股定理解题 解：（1）方式一：
（6-t)?t?x ∵CM=x，设CH=t 根据翻折的性质，则HM=BH=6-t，在Rt△HCM中
222?x2?36x2???3（0 ∵根据翻折的性质，∠NMH=∠ABC=90°，易证△HCM∽△MDE ∴ CHCMCH6?x1 ∴CH??x2?2x ? ?DMDEx33 11 12x2?3（0 在Rt△GPH中 ∴ 点评：关于翻折的题目以往在江苏中考中，多数以选择填空的题型出现，而今年作为倒数第 二道解答题，也就是意味着分值从3分升到9分，对图形的变化要求提高。 11.【考点】RB：几何变换综合题． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到AO=OB，根据直 角三角形的性质即可得到结论； （2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，则此时PN+PD 的长度取得最小值，根据线段垂直平分线的想知道的BD=BD′，推出△BDD′是等边三角形，得到BN=BD=，于是得到结论； （3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，即为 QN+NP+PD的最小值．根据轴对称的定义得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，得到△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，解直角三角形即可得到结论． 12 解：（1）AO=2OD， 理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，∴AO=OB， ∵BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠BDO=90°，∴OB=2OD，∴OA=2OD； （2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P， 则此时PN+PD的长度取得最小值， ∵BE垂直平分DD′，∴BD=BD′， ∵∠ABC=60°，∴△BDD′是等边三角形，∴BN=BD=， ∵∠PBN=30°，∴=，∴PB=； （3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′， 连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值． 根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°， ∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，∴∠D′BQ′=90°， ∴在Rt△D′BQ′中， D′Q′==．∴QN+NP+PD的最小值=， 故答案为：． 12.解：（1）根据题意，设BF＝FM＝x，则CF＝4－x， ∵M为AC中点，AC＝BC＝4，∴ CM＝ 1AC＝2， 213 ∵∠ACB＝90°，∴CF+CM＝FM，∴(4－x)+2＝x，解得x＝ 222222 553，∴CF＝4－＝； 222（1）①△PFM的形状不变，始终是以PM、PF为腰的等腰直角三角形，理由如下： ∵等腰直角三角形ABC中，CD⊥AB，∴AD＝DB，CD＝ 1AB＝DB， 2∴∠B＝∠DCB＝45°，由折叠可得∠PMF＝∠B＝45°，∴∠PMF＝∠DCB， ∴P、M、F、C四点共圆，∴∠FPM+∠FCM＝180°， ∴∠FPM＝180°－∠FCM＝90°，∠PFM＝90°－∠PMF＝45°＝∠PMF， ∴△PFM的形状不变，始终是以PM、PF为腰的等腰直角三角形； ②当M与C重合时，F为BC中点，CF＝ 1CFBC＝2，PM＝PF＝?2， 2cos45?此时△PFM的周长为2＋22； 当M与A重合时，F于C重合，E与D重合，FM＝AC＝4，PM＝PF＝ACcos45°＝22，此时△PFM的周长为4＋42， 又B不与A、C重合，所以△PFM的周长的取值范围是大于2＋22且小于4＋42. 或：解：（1）∵M为AC的中点，∴CM= 11AC=BC=2， 22由折叠的性质可知，FB=FM，设CF=x，则FB=FM=4﹣x， 2 2 2 2 2 2 在Rt△CFM中，FM=CF+CM，即（4﹣x）=x+2，解得，x= 33，即CF=； 22（2）①△PFM的形状是等腰直角三角形，不会发生变化， 理由如下：由折叠的性质可知，∠PMF=∠B=45°， ∵CD是中垂线，∴∠ACD=∠DCF=45°， ∵∠MPC=∠OPM，∴△POM∽△PMC，∴ POOMMCOM??，∴ PMMCPMPO∵∠EMC=∠AEM+∠A=∠CMF+∠EMF，∴∠AEM=∠CMF， 14 ∵∠DPE+∠AEM=90°，∠CMF+∠MFC=90°，∠DPE=∠MPC，∴∠DPE=∠MFC，∠MPC=∠MFC， ∵∠PCM=∠OCF=45°， ∴△MPC∽△OFC，∴ MPMCMCOCOMOC，∴，∴， ???OFOCPMOFPOOF∵∠POF=∠MOC，∴△POF∽△MOC，∴∠PFO=∠MCO=45°，∴△PFM是等腰直角三角形． 或证明：由折叠知∠PMO=∠B=45°=∠FCO,∠POM=∠COF，∴△POM∽△COF,∴ POOM ?OFOF ∵ POOM，∠POF=∠MOC ∴△POF∽△MOC，∴∠MCO=∠PFO=45°， ?OFOF∴∠PMO=∠PFO=45° ∴△PMF为等腰直角三角形 ②∵△PFM是等腰直角三角形，设FM=y， 由勾股定理可知：PF=PM= 2y，∴△PFM的周长=（1+2）y， 2∵2＜y＜4，∴△PFM的周长满足：2+22＜（1+2）y＜4+42． 【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 15
2020年中考数学专题---图形折叠中的变与不变(含答案)
