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第31讲 平面向量的综合应用
考试要求 1.用向量方法解决某些简单的平面几何问题(A级要求)；2.用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题(A级要求).
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若AB∥AC，则A，B，C三点共线.( )
(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决.( )
(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算.( )
(4)在△ABC中，若AB·BC＜0，则△ABC为钝角三角形.( ) 解析 (4)中，AB与BC的夹角为π－B，是钝角，只能说明B为锐角. 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2.(教材改编)已知力F＝(2，3)作用在一物体上，使物体从A(2，0)移动到B(－2，3)，则F对物体所做的功为________.
解析 由已知位移s＝AB＝(－4，3)， ∴力F做的功为W＝F·s＝2×(－4)＋3×3＝1. 答案 1
3.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5，2)，C(－1，－4)，则这个三角形的形状是________.
解析 ∵AB＝(2，－2)，CB＝(6，6)， ∴AB·CB＝12－12＝0，
∴AB⊥CB，∴△ABC为直角三角形. 答案 直角三角形
4.在四边形ABCD中，AC＝(1，2)，BD＝(－4，2)，则该四边形的面积为________. 解析 AC·BD＝(1，2)·(－4，2)＝0，则AC⊥BD，故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积1→→1
S＝|AC||BD|＝×5×25＝5. 2
2
答案 5
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→→→→→→→→→→→→→→→→→→→文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
5.(2024·苏州调研)在梯形ABCD中，AB＝2DC，|BC|＝6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足AP＋BP＋4DP＝0，DA·CB＝|DA||DP|，Q为边AD上的一个动点，则|PQ|的最小值为________.
解析 设AB中点为E，则四边形BCDE为平行四边形，且AP＋BP＝2EP，所以PE＝2DP，D，E，
→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→P三点共线，|DE|＝6，|DP|＝2.又DA·CB＝DA·DE＝3DA·DP
＝3|DA||DP|cos∠ADE＝|DA||DP|， 12
所以cos∠ADE＝，sin∠ADE＝2.
33要使|PQ|最小，即PQ⊥AD.
→→→→→→→42
此时|PQ|＝|DP|sin∠ADE＝. 3
答案
42
3
知 识 梳 理
1.向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型 线平行、点共线等问题 所用知识 向量共线定理 公式表示 a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0 a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0， 垂直问题 数量积的运算性质 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 a·bcos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，|a||b|其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a|＝a＝x＋y，其中a＝(x，y)，a为非零向量 222(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤： 设向量运算还原
平面几何问题――――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题. 2.平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决.
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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 (2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为
F与s的夹角).
3.向量在三角函数中的应用
与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识. 4.向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.
考点一 平面向量在平面几何中的应用
【例1】 (1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点.若AC·BE＝1，则AB的长为________.
1
(2)(2017·苏、锡、常、镇调研(二))在△ABC中，AB⊥AC，AB＝，AC＝t，P是△ABC所在
→→t→→→4ABAC平面内一点，若AP＝＋，则△PBC面积的最小值为________.
→→|AB||AC|
→→→→→→→1→→解析 (1)由题意，可知AC＝AB＋AD，BE＝－AB＋AD.因为AC·BE＝1，所以(AB＋
2→?1→→?
AD)·?－AB＋AD?＝1，
?2?
→21→→1→2
即AD＋AB·AD－AB＝1.①
22
→→→1→因为|AD|＝1，∠BAD＝60°，所以AB·AD＝|AB|，
2
→1→1→211
因此①式可化为1＋|AB|－|AB|＝1，解得|AB|＝0(舍去)或，所以AB的长为.
4222
(2)以A为坐标原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，则
x?1?P(1，4)，C(t，0)，B?0，?，BC：＋ty＝1，x＋t2y－t＝0，
t?t?
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经典课件：2024版高考数学大一轮复习第五章平面向量第31讲平面向量的综合应用学案理
