平面向量
??①向量????②零向量???③单位向量?一、向量的基本概念内容???④相等向量??⑤相反向量?????⑥平行向量??①几何表示法??二、向量的表示表示方法?②符号表示法???③坐标表示法????①共线定理????②共线定理应用???③不共线定理应用向量????④实数与向量的积??⑤平面向量的数量积???三、平面向量的基本定理???⑥向量的运算??⑦向量的运算律????⑧向量平行(共线)的充要条件??⑨向量垂直的充要条件?? ???⑩平移公式???①在几何中的应用???四、平面向量的基本应用?②在解析中的应用???③在解斜三角形的应用????④在物理中的应用?
学习方法：①理论意义、实际意义；
②基本概念，知识网络，思想方法，基本技巧；
③五步学习法：讲清内容，整理内容，课后练习，讲解练习，总结练习；
④基本考点：a、向量的运算及其几何意义； b、向量的线性运算； c、共线问题；
e、基本定理应用及其向量分解； d、坐标表示及其运算； f、平行问题的坐标表示； g、数量积的运算； h、夹角问题； i、模长及垂直条件； j、在平面几何中应用； k、在解析几何中的应用；l、在解三角形中的应用； m、在物理中的应用；
一、向量有关概念：
①向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，向量可以平移； ②零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；
作用:１、解决矛盾；２、零向量和任何非零向量平行；３、一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量； uuuruuurAB③单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是?uuur)；单位化
|AB|④相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；大小和方向有关，与位置无关； ⑤相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a；
⑥平行向量（共线向量）：
１、方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量；
２、记作：a∥b零向量和任何非零向量平行；
３、两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；
r４、平行向量无传递性！（因为有0)；
uuuruuur AC共线； ５、三点A、B、C共线?AB、⑦相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
a、向量的运算及其几何意义： 例１、下列命题：
rrrr①若a?b，则a?b；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；
uuuruuuruuuruuur③若AB?DC，则ABCD是平行四边形；④若ABCD是平行四边形，则AB?DC；
rrrrrrrrrrrra?b,b?ca//b,b//c⑤若，则a?c；⑥若，则a//c；其中正确的是_______
例２、下列命题正确是：
rrr①若a?0，则?a?0；
rrrrrr②若非零向量a与b方向相同或相反，则a?b与a,b之一的方向相同；
rr③若a?0，则a?0；
rrrrrr④若a?b，则a?b或a??b；
rrrr⑤若aPb，则a?b；
rrrrr⑥若aPbPc，则aPc； rrrrrr⑦a?b?a?b?a与b方向相同；
rrrr⑧向量b与向量a共线的充要条件是有且仅有只有一个实数?，使得b??a； uuuruuurrrrr⑨AB?BA?0；⑥若?a??b，则a?b；
???????????????“三角形法则”和“平行四边形法则” b、向量的线性运算：
例３、已知?ABC中，点D在BC边上，且CD?2DB，CD?rAB?sAC，则r?s的值是___
rruuuruuuruuurruuurruuur例４、已知AD,BE分别是?ABC的边BC,AC上的中线,且AD?a,BE?b,则BC可用向量a,b表示为_____
uuuruuuruuuruuuruuruuur例５、边长为1的正三角形ABC中，设BC?2BD,CA?3CE，则AD?BE?？
c、共线问题：
uuurruuurruuurruuururuuurrrrrurrrr例６、已知OA?a,OB?b,OC?c,OD?d,OE?e，设t?R，如果3a?c,2b?d,e?ta?b，那么t为何值时，
?? C、D、E三点在一条直线上？
例７、 如图1，已知点G是?ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AM?xAB，
uuuuvuuuvuuuvuuuv11AN?yAC，则??3。
A xy
M
N
G
C B 图1
例１、④⑤ 例２、①
例３、解:用零向量解决矛盾
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurQCD?rAB?sAC,CD?2DB?CD?r(AD?DB)?s(AD?DC)?(r?s)AD?rDB?sDC uuur?(2?2s?r)DB?(r?s)AD?r?s?0,2?2s?r?0例４、
uuurruuurruuuruuuruuurr1uuurr1uuuruuurr1r1uuuruuur2r4r解:QAD?a,BE?b.?BC?BE?EC?b?AC?b?(AD?DC)?b?(a?BC)?BC?a?b
222233例５、
uuuruuuruuurr1ruuuruuuruuur1rruurruuurrrro解：设CA?a,CB?b，则a?b?1,a,b?60，由题意，得AD?AC?CD??a?b,BE?BC?CE?a?b，
23uuuruuur1r21r27rr1AD?BE??a?b?a?bcosa,b??326rrr4uuururrrruuur r例６、解：CD?d?c?2b?3a,CE?e?c?(t?3)a?tb，C、D、E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，
rrrrrruuuruuur使得CE?kCD，即?t?3?a?tb?3ka?2kb，整理得?t?3?3k?a??2k?t?b；
rrrr6?t?3?3k?06当a,b共线，则t可为任意实数；当a,b不共线，则有? ?t?；综上，t任意，共线，t?，不。
5t?2k?05?uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv 例７、点G是?ABC的重心，知GA?GB?GC?O，得?AG?(AB?AG)?(AC?AG)?O，
uuuv1uuuvuuuv有AG?(AB?AC)。又M，N，G三点共线（A不在直线MN上），于是存在?,?，
3?????1uuuvuuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv1uuuvuuuv?使得AG??AM??AN(且????1)， 有AG??xAB??yAC=(AB?AC)，得?1，
3?x??y??3?11于是得??3。
xy二、向量的表示方法：
①几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后； ②符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；
③坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内
rrr的任一向量a可表示为a?xi?yj??x,y?，称?x,y?为向量a的坐标，a＝?x,y?叫做向量a的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
d、坐标表示及其运算；
rrrr例１、若a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2)，则c?______
例２、如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(?1,3),若点C满足OC??1OA??2OB,
?????????uuuruuuro例３、给定两个长度为１的平面向量OA和OB，它们的夹角为120.
?上变动. 如图，点C在以O为圆心的圆弧ABuuuruuuruuur若OC?xOA?yOB，其中x,y?R，则x?y的最大值是？
uuuruuuruuur例４、已知O是?ABC的外心，AB?2,AC?1,?ABC?120o.若AO??1AB??2AC，则?1??2?？
其中?1,?2?R且?1??2?1,则点C的轨迹是_______ e、基本定理应用及其向量分解：
1?????1?????13?2???c?a?b 例１、解：?c??a??b,a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2)??22?2????????3??2uuuruuuruuuruuuruuuruuur例２、向量PA、 PB、 PC中三终点A、B、C共线?存在实数?、?使得PA??PB??PC且????1.直线AB
例３、
1?uuuruuuruuuruuuruuuruuurcos??x?y????OC?OA?xOA?OA?yOB?OA2解：方法一、设?AOC??，则?uuu ruuuruuuruuuruuuruuur，即?1??cos(120o??)??x?y?OC?OB?xOA?OB?yOB?OB??2???o?cos??cos120???cos??3sin??2sin?? 所以x?y?2???????2. ?6??uuuruuuruuuruuur2uuuruuur2222OC?xOA?yOB方法二、将向量式两边平方，得1?OC?xOA?yOB?x?y?xy?(x?y)?3xy，
??因为?xy??1122?x?y?，故1??x?y?,??2?x?y?2. 44?13? 方法三、以直线OA为x轴，过O垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系，则A?1,0?,B??,?,C??,??
22??11??x??????x?y?uuuruuuruuur??13?23??y?，即?代入OC?xOA?yOB可得??,????x?y,， ??222?????3?y????3?2?
2?1?,1?,???0,1?，所以由柯西不等式，得x?y???3??12?3?2??2?2. ?2?uuuruuuruuuruuuruuur方法四、设?AOC??，作平行四边形OECD，则OC?OE?OD.设OE?x,OD?y,在?OCE中使用正
Q????1,????22??xy11?sin???60o??sin???2sin???60o? ???x?y?oo?o?sin60sin???60?sin?sin60uuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuur1o方法五、OA?OB?OA?OB?cos120??，设OC与AB的交点为M，OM??1???OA??OB，则由
2uuuruuuuruuuruuur1? OC?tOM?t?1????OA??OB??t?0?，得x?y?t，且两边取模并平方整理得t? ??23??3??1弦定理得
故tmax?t???max?t????2.
??2??x?y?cos??3sin??2sin??????2??，，当时，x?y?2. ??????6?3??3???uuuruuuruuur例４、已知O是?ABC的外心，AB?2,AC?1,?ABC?120o.若AO??1AB??2AC，则?1??2?？
uuuruuuruuur2uuuruuur?uuuruuuruuuruuuruuur?AO?AB??1AB??2AC?AB解：方法一、点乘法：AO??1AB??2AC两边同时乘以AB,AC得?uuuruuuruuuruuuruuur2，
??AO?AC??1AB?AC??2AC51????2R??4???12???2Rcos?OAB?4?1??213??16R????1??2?. 即?，所以?6?Rcos?OAC???1??2?R?1???1??2??2?4???2R3?方法二、坐标法：以A点为原点，以CA及其垂直平分线所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系.由余弦定
uuuruuur53BCuuur1uuuruuur7?2R?AO?R?理得BC?7，再由正弦定理得，AD?，所以OD?，
6sinA23r?153?uuuruuur?153?uuu即O?,??AO??,?，而B?1,3,AC??1,0?,AB??1,3，
2626????51????????1uuur?16?13?2?2???AO???1??2,3?1，于是?，所以?1??2?. 546?3?1?3??2???6?3?方法六、设C?cos?,sin?????0,???????
三、平面向量的基本定理：共线和不共线定理 ?
???①共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数?，使得b??a。
ⅰ、提供证明共线或平行的方法。
ⅱ、定比分点坐标公式，中点坐标公式，重心公式。
f、平行问题的坐标表示；
uuuruuuruuuurruuuruuuruuuur例１、已知?ABC和点满足MA?MB?MC?0，若存在实数m使得AB?AC?mAM成立，则m?３
uuuruuuruuur例２、已知点A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若AP?AB??AC(??R)，则当?＝____时，点P在第一、三象限的角平分
线上。
uuuruuuruuurr|AP|r??，则?？ 例３、若D为?ABC的边BC的中点，?ABC所在平面内有一点P，满足PA?BP?CP?0，设uuuuuuruuuruuuurruuuruuuruuur例１解：由MA?MB?MC?0知，点M为?ABC的重心，设D为边BC的中点，则向量加法可知AB?AC?2AD。
uuur|PD|uuuuruuuruuuur2uuuruuuur2uuur1uuuruuuruuuruuuruuuurAB?AC,AB?AC?3AM。 由重心的性质可知：AM?AD，而且AM与AD同向，故AM?AD?
333????1例２、答：；
2例３、（答：2）；
②共线定理应用：
uuuruuur??PP2，则?叫做１、定比分点的概念：设点P是直线p1,p2上异于p1,p2的任意一点，若存在一个实数? ，使PP1uuuuruuuur点P分有向线段 PP 所成的比，P点叫做有向线段PP的以定比为?的定比分点； 1212２、?的符号与分点P的位置之间的关系：
uuuuruuuur当P点在线段PP上时???0；当P点在线段PP的延长线上时? ???1； 1212uuuur当P点在线段P2P的延长线上时??1???0； 1uuuuruuuur1当P分有向线段PP所成的比为，则点分有向线段所成的比为。 ?P2PP121?x1??x2?x??uuuur?1??３、线段的定比分点公式：设P所成的比为，则， ??1(x1,y1)、P2(x2,y2)，P(x,y)分有向线段PP12?y?y1??y2?1???x1?x2?x???2?ⅰ、当??1时，就得到线段Py?y2。在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y)，1P2的中点公式?y?1??2(x1,y1)、(x2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地
uuuuruuuuruuuuruuurMP??MP12， ⅱ、若P分有向线段PP所成的比为?，点M为平面内的任一点，则MP?12确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比?。 uuuuruuuuruuurMP?MP12； 特别地P为P1P2的中点?MP?21??uuurr1uuuu例１、若M(?3,?2)，N(6,?1)，且MP??MN，则点P的坐标为_______
3uuuuruuur1例２、已知A(a,0),B(3,2?a)，直线y?ax与线段AB交于M，且AM?2MB，则a等于_______
2例３、如图，在?ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN?2NC，
AM与BN相交于点P，求AP:PM的值？
uuuruuuur例１、解:法一:设P(x,y),M(?3,?2),N(6,?1)?MP?(x?3,y?2),MN?(9,1)?x?3??3?x??6uuurr1uuuu1??QMP??MN?(x?3,y?2)??(9,1)即??17 ?33y?2??y???3?3??
平面向量复习基本知识点及经典结论总结
