第五节 古 典 概 型
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1．理解古典概型及其概率计算公式．
2．会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率．
1．古典概型的两个特征
(1)试验的所有可能结果只有有限个．每次试验只出现其中的一个结果； (2)每一个试验结果出现的可能性都相同． 2．古典概型的概率公式
对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成，如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为
事件A包含的可能结果数mP(A)＝＝.
试验的所有可能结果数n3．建立古典概率模型时对基本事件的要求 (1)每次试验有且只有一个基本事件出现；
(2)基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的．
1．在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的吗？
提示：不一定．如试验一粒种子是否发芽，其发芽和不发芽的可能性是不相等的． 2．如何判断一个试验是否为古典概型？
提示：关键看这个实验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性．
1．一枚硬币连掷2次，恰有一次正面朝上的概率为( ) 2111A. B. C. D. 3432
解析：选D 一枚硬币连掷2次，其结果共有正正，正反，反正，反反四种结果，恰有一21次正面朝上的有正反、反正两种结果．因此，恰有一次正面朝上的概率为＝.
42
2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )
- 1 -
1112A. B. C. D. 6233
解析：选C 甲、乙、丙三名同学站成一排共有如下6种情况：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，而甲站在中间的共有乙甲丙，丙甲乙两种情况，因此，甲站在中21间的概率为＝.
63
3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( )
4321A. B. C. D. 5555
解析：选D 依题意可知a，b共有如下15种情况：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(1,2)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，其中b>a的31共有3种情况．所以b>a的概率为＝.
155
4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5的下方的概率为________．
解析：点P在直线x＋y＝5下方的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)661
种可能，故P＝＝.
6×66
1答案：
6
5．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x＋y＝9内部的概率为________．
解析：点P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6种情况，只有(2,1)，2122
(2,2)这两种情况满足在圆x＋y＝9内部，所以所求概率为＝.
63
1答案：
3
2
2
考点一
[例1] (1)(2013·江西高考)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
2111A. B. C. D. 3236
- 2 -
简单古典概型的求法 (2)(2013·新课标全国卷Ⅱ)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取1
出的两数之和等于5的概率为，则n＝________.
14
[自主解答] (1)从A，B中各任意取一个数，共有6种取法，其中两数之和为4的是(2,2)，21(3,1)．所以两数之和等于4的概率为＝.
63
21
(2)因为5＝1＋4＝2＋3，所以2＝，即n(n－1)＝56.解得n＝8或n＝－7(舍)．
Cn14[答案] (1)C (2)8 【互动探究】
在本例(1)中，若将“则这两数之和等于4的概率”改为“则这两数之和等于5的概率”，则结果如何？
解：由原题知从A，B中各任意取一个数共有6种取法，其中两数之和等于5的是(2,3)，21
(3,2)，故其概率为＝.
63
【方法规律】
1．求古典概型概率的基本步骤 (1)算出所有基本事件的个数n. (2)求出事件A包含的所有基本事件数m. (3)代入公式P(A)＝，求出P(A)． 2．基本事件个数的确定方法
(1)列举法：此法适合于基本事件较少的古典概型．
(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法.
(2014·重庆模拟)有编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6的6位同学，进行100米赛跑，得到下面的成绩：
编号 成绩(秒) mnA1 12.2 A2 12.4 A3 11.8 A4 13.1 A5 11.8 A6 13.3 其中成绩在13秒内的同学记为优秀． (1)从上述6名同学中，随机抽取一名，求这名同学成绩优秀的概率；
(2)从成绩优秀的同学中，随机抽取2名，用同学的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2名同学的成绩都在12.3秒内的概率．
解：(1)由所给的成绩可知，优秀的同学有4名，设“从6名同学中随机抽取一名是优秀”
- 3 -
42
为事件A，则P(A)＝＝.
63
(2)优秀的同学编号是A1，A2，A3，A5，从这4名同学中抽取2名，所有的可能情况是：(A1，
A2)，(A1，A3)，(A1，A5)，(A2，A3)，(A2，A5)，(A3，A5)；设“这2名同学成绩都在12.3以内”
31
为事件B，符合要求的情况有：(A1，A3)，(A1，A5)，(A3，A5)，所以P(B)＝＝.
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考点二 [例2] (1)(2013·安徽高考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )
2239A. B. C. D. 35510
(2)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
①求此人被评为优秀的概率； ②求此人被评为良好及以上的概率．
[自主解答] (1)记事件A为“甲或乙被录用”．从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，－丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10种可能，而A的对立事件A仅19－－－
有(丙，丁，戊)一种可能，则A的对立事件A的概率为P(A)＝.故P(A)＝1－P(A)＝.
1010
(2)将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共有10种．
令D表示事件“此人被评为优秀”，E表示事件“此人被评为良好”，F表示事件“此人1637
被评为良好及以上”，则①P(D)＝.②因为P(E)＝＝，所以P(F)＝P(D)＋P(E)＝.
1010510
[答案] (1)D
【方法规律】
求较复杂事件的概率问题的方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．
- 4 -
较复杂古典概型的概率 (2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解．
为振兴旅游业，四川省面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一3
个有36名游客的旅游团到四川名胜景区旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外
412
游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．
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(1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；
(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．
解：(1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持C6C302
银卡．设事件A为“采访该团2人，恰有1人持银卡”，则P(A)＝2＝，
C367
2
所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是.
7
(2)设事件B为“采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等”，可以分为事件B1为“采访该团2人，持金卡0人，持银卡0人”，或事件B2为“采访该团2人，持金卡1人，持银卡1C21C9C644
人”两种情况．则P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝2＋2＝，
C36C36105
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所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是.
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高频考点
1．古典概型与统计的综合应用，是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．
2．高考对古典概型与统计的综合应用的考查主要有以下几个命题角度： (1)由频率来估计概率；
(2)由频率估计部分事件发生的概率； (3)求方差(或均值)等．
[例3] (2013·天津高考)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4, 则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下： 产品编号
2
11
11
考点三 古典概型与统计的综合应用 A1 A2 A3 A4 A5 - 5 -
高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)古典概型 理 北师大版
