1987年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值.
(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.
x?1
x?1y?2z?1(3)与两直线 都平行且过原点的平面方程为y??1?t及??111_____________.z?2?t
(4)设L为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分?(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy= _____________.
L(5)已知三维向量空间的基底为α1?(1,1,0),α2?(1,0,1),α3?(0,1,1),则向量β?(2,0,0)在此基底下的坐标是_____________.
二、(本题满分8分)
x1t2求正的常数a与b,使等式limdt?1成立.
2x?0bx?sinx?0a?t
三、(本题满分7分)
?u?v(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求,.
?x?x?301??,求矩阵B. 110(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A?2B,其中A??????014??
四、(本题满分8分)
求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.
五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
f(x)?f(a)??1,则在x?a处 (1)设lim2x?a(x?a)(A)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (B)f(x)取得极大值 (C)f(x)取得极小值 (D)f(x)的导数不存在
(2)设f(x)为已知连续函数,I?t?f(tx)dx,其中t?0,s?0,则I的值
(B)依赖于s、t和x
(D)依赖于s,不依赖于t
?k?n(3)设常数k?0,则级数?(?1)n2
nn?1(A)发散 (B)绝对收敛
(C)条件收敛 (D)散敛性与k的取值有关
(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|?a?0,而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于
1(A)a (B)
a(C)an?1
(D)an
(A)依赖于s和t (C)依赖于t、x,不依赖于s
st0
六、（本题满分10分）
?1n?1x的收敛域，并求其和函数. 求幂级数?nn?1n2
七、（本题满分10分） 求曲面积分
I???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,
???z?y?1 1?y?3其中?是由曲线f(x)??绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向
x?0???的夹角恒大于.
2
八、（本题满分10分）
设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.
九、（本题满分8分）
问a,b为何值时,现线性方程组
x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x2?(a?3)x3?2x4?b
3x1?2x2?x3?ax4??1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.
(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.
1?x2?2x?1e,则X的数学期望为(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)??____________,X的方差为____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为
10?x?1e?yy?0fX(x)? ,fY(y)? ,
y?0其它00求Z?2X?Y的概率密度函数.
1988年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
?(x?3)n(1)求幂级数?的收敛域. nn3n?1(2)设f(x)?ex,f[?(x)]?1?x且?(x)?0,求?(x)及其定义域. (3)设?为曲面x2?y2?z2?1的外侧,计算曲面积分I?2???x3dydz?y3dzdx?z3dxdy.
二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)
1(1)若f(t)?limt(1?)2tx,则f?(t)= _____________.
x??x(2)设f(x)连续且?x3?10f(t)dt?x,则f(7)=_____________.
(3)设周期为2的周期函数,它在区间(?1,1]上定义为f(x)?
2?1?x?0 ,则的傅里叶2x0?x?1(Fourier)级数在x?1处收敛于_____________.
(4)设4阶矩阵A?[α,γ2,γ3,γ4],B?[β,γ2,γ3,γ4],其中α,β,γ2,γ3,γ4均为4维列向量,且已知行
列式A?4,B?1,则行列式A?B= _____________.
三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
1(1)设f(x)可导且f?(x0)?,则?x?0时,f(x)在x0处的微分dy是
2(A)与?x等价的无穷小 (B)与?x同阶的无穷小 (C)比?x低阶的无穷小 (D)比?x高阶的无穷小
(2)设y?f(x)是方程y???2y??4y?0的一个解且f(x0)?0,f?(x0)?0,则函数f(x)在点x0处
(A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少 (3)设空间区域?1:x2?y2?z2?R2,z?0,?2:x2?y2?z2?R2,x?0,y?0,z?0,则 (A)???xdv?4???dv
?1?2
(B)???ydv?4???ydv
?1?2
(C)???zdv?4???zdv
?1?2?
(D)???xyzdv?4???xyzdv
?1?2(4)设幂级数?an(x?1)n在x??1处收敛,则此级数在x?2处
n?1(A)条件收敛 (C)发散 定
(B)绝对收敛 (D)收敛性不能确
(5)n维向量组α1,α2,,αs(3?s?n)线性无关的充要条件是
(A)存在一组不全为零的数k1,k2,,ks,使k1α1?k2α2?(B)α1,α2,,αs中任意两个向量均线性无关
?ksαs?0
(C)α1,α2,,αs中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)α1,α2,,αs中存在一个向量都不能用其余向量线性表示
四、(本题满分6分)
xy?2u?2u设u?yf()?xg(),其中函数f、g具有二阶连续导数,求x2?y.
yx?x?x?y
五、(本题满分8分)
设函数y?y(x)满足微分方程y???3y??2y?2ex,其图形在点(0,1)处的切线与曲线y?x2?x?1在该点处的切线重合,求函数y?y(x).
六、（本题满分9分）
k设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为2(k?0为常数,r为A质点与M之间的距
r离),质点M沿直线y?2x?x2自B(2,0)运动到O(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.
七、（本题满分6分）
?100??100??,P??2?10?,求A,A5. 000 已知AP?BP,其中B?????????00?1???211??
八、（本题满分8分）
?200??200??与B??0y0?相似. 001已知矩阵A?????????01x???00?1??(1)求x与y.
(2)求一个满足P?1AP?B的可逆阵P.
九、（本题满分9分） 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有f?(x)?0,证明:在(a,b)内存在唯一的?,使曲线y?f(x)与两直线y?f(?),x?a所围平面图形面积S1是曲线y?f(x)与两直线y?f(?),x?b所围平面图形面积S2的3倍.
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
19(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于,则事
27件A在一次试验中出现的概率是____________.
6(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于”的概率为____________.
5(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知
1?u2?(x)??edu,?(2.5)?0.9938,
??2?则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.
十一、（本题满分6分）
1,求随机变量Y?1?3X的概率密度函数设随机变量X的概率密度函数为fX(x)?2?(1?x)fY(y).
x21989年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
f(3?h)?f(3)(1)已知f?(3)?2,则lim= _____________.
h?02h(2)设f(x)是连续函数,且f(x)?x?2?f(t)dt,则f(x)=_____________.
01(3)设平面曲线L为下半圆周y??1?x2,则曲线积分?(x2?y2)ds=_____________.
L(4)向量场divu在点P(1,1,0)处的散度divu=_____________.
?300??100??,I??010?,则矩阵(A?2I)?1=_____________. 140(5)设矩阵A?????????003???001??
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
1(1)当x?0时,曲线y?xsin
x(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线 (C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线
(2)已知曲面z?4?x2?y2上点P处的切平面平行于平面2x?2y?z?1?0,则点的坐标是 (A)(1,?1,2) (B)(?1,1,2) (C)(1,1,2) (D)(?1,?1,2) (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是 (A)c1y1?c2y2?y3 (B)c1y1?c2y2?(c1?c2)y3
(C)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3 (D)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3
(4)设函数f(x)?x,0?x?1,而S(x)??bnsinn?x,???x???,其中
2n?1?bn?2?f(x)sinn?xdx,n?1,2,3,011,则S(?)等于
21(A)?
21(C)
4(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式A?0,则A中
1(B)?
41(D)
2 合
(A)必有一列元素全为0
(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合
(B)必有两列元素对应成比例
(D)任一列向量是其余列向量的线性组
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)设z?f(2x?y)?g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导,g(u,v)具有连续二阶偏导数,求
?2z. ?x?y
(2)设曲线积分?xy2dx?y?(x)dy与路径无关,其中?(x)具有连续的导数,且?(0)?0,计算
c(1,1)(0,0)?xy2dx?y?(x)dy的值.
1987年-2014考研数学一历年真题完整版(Word版)
