即5≤m≤13且
56?3m1是某个有理数的平方，由此可知q?。 4m2sin(πx)?cos(πx)?21545 。 (?x?)，则f(x)的最小值为 544xπ2sin(πx?)?215π154(?x?)，解：实际上f(x)?设g(x)?2sin(πx?)(?x?)，44444x31335则g(x)≥0，g(x)在[,]上是增函数，在[,]上是减函数，且y=g(x)的图像关于直线x?444441335对称，则对任意x1?[,]，存在x2?[,]，使g(x2)=g(x1)。于是
444435g(x1)?2g(x2)?2g(x2)?2f(x1)????f(x2)，而f(x)在[,]上是减函数，所以
44x1x1x211. 已知函数f(x)?1554545，即f(x)在[,]上的最小值是。 f(x)?f()?4445512. 将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小
方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有 3960 种（用数字作答）。
解：使2个a既不同行也不同列的填法有C42A42=72种，同样，使2个b既不同行也不同列的填法也有C42A42=72种，故由乘法原理，这样的填法
共有722种，其中不符合要求的有两种情况：2个a所在的方格内都填有b的情况有72种；2个a所在的方格内仅有1个方格内填有b的情况有C161A92=16×72种。所以，符合题设条
2
件的填法共有72?72?16×72=3960种。
三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13. 设an??k(n?1?k)，求证：当正整数n≥2时，a
k?1n1n+1 11112n1?(?)，因此an?证明：由于，于是，对任意的正?k(n?1?k)n?1kn?1?kn?1k?1k11n11n?11整数n≥2，有(an?an?1)???? 2n?1k?1kn?2k?1knn111111?(?)???(??1)?0，即an+1 x在点M、N处切线的交点轨迹。 解：设点M、N的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，曲线C在点M、N处的切线分别为l1、l2，其交点P的坐标为(xp，yp)。若直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1。 1?1?y?x?2 由方程组?x，消去y，得x??kx?1，即(k?1)x+x?1=0。由题意知，该方程在(0， x?y?kx?1?1?0…(2)，+∞)上有两个相异的实根x1、x2，故k≠1，且Δ=1+4(k?1)>0…(1)，x1?x2?1?k3111x1x2??0…(3)，由此解得?k?1。对y?x?求导，得y'?1?2，则 41?kxx111，，于是直线l的方程为y'|?1?y?y?(1?)(x?x1)，即1x?x212x12x2x121112y?(x1?)?(1?2)(x?x1)，化简后得到直线l1的方程为y?(1?2)x?…(4)。同 x1x1x1x1121122理可求得直线l2的方程为y?(1?2)x?…(5)。(4)?(5)得(2?2)xp???0， x2x2x2x1x1x22x1x2因为x1≠x2，故有xp?…(6)。将(2)(3)两式代入(6)式得xp=2。(4)+(5)得 x1?x2111111x1?x22yp?(2?(2?2))xp?2(?)…(7)，其中???1， x1x2x1x2x1x2x1x2y'|x?x1?1?211x12?x2(x1?x2)2?2x1x2x1?x222代入(7)????()??1?2(1?k)?2k?1，222222x1x2x1x2x1x2x1x2x1x235式得2yp=(3?2k)xp+2，而xp=2，得yp=4?2k。又由?k?1得2?yp?，即点P的轨迹为 42(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）。 15. 设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2，3，4)满足：（1）对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x+π)=fi(x)；（2）对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。 f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)，h(x)?，则f(x)=g(x)+h(x)，且g(x)是偶函 22g(x)?g(x?π)数，h(x)是奇函数，对任意的x∈R，g(x+2π)=g(x)，h(x+2π)=h(x)。令f1(x)?， 2π?g(x)?g(x?π)x?kπ??h(x)?h(x?π)??x?kπ2cosx2f3(x)??，，f2(x)??2sinxπ??0x?kπ0x?kπ??2?kπ?h(x)?h(x?π)x??2，其中k为任意整数。 f4(x)??2sin2xkπ?0x?2?证明：记g(x)?容易验证fi(x)，i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的x∈R，fi(x+π)=fi(x)，i=1，2，3，4。下证对任意的x∈R，有f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。当x?kπ?因为f1(x)?f2(x)cosx?f1(x)?ππ时，显然成立；当x?kπ?时，22g(x)?g(x?π)，而 23π3πππg(x?π)?g(kπ?)?g(kπ??2(k?1)π)?g(?kπ?)?g(kπ?)?g(x)，故对 2222kπ时，显然成立；当x=kπ时，2任意的x∈R，f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。 下证对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。当x?h(x)=h(kπ)=h(kπ?2kπ)=h(?kπ)=?h(kπ)，所以h(x)=h(kπ)=0，而此时f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0，故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x；当x?kπ?π时， 2h(x?π)?h(kπ?3π3πππ)?h(kπ??2(k?1)π)?h(?kπ?)??h(kπ?)??h(x)，故2222h(x)?h(x?π)f3(x)sinx??h(x)，又f4(x)sin2x=0，从而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x。 2于是，对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。综上所述，结论得证。
2007年全国高中数学联赛真题A卷一、二试试题及答案
