王方10次射箭得分情况 李明10次射箭得分情况 环数 频数 频率 6 7 8 9 10 环数 频数 频率 6 7 8 9 10 （2）分别求出两人10次射箭得分的平均数；
（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适.
【思路分析】（1）根据王方和李明的10次射箭情况填表即可； （2）根据加权平均数的计算公式计算即可；
（3）根据方差的计算公式分别计算出王方和李明的方差，根据方差的大小和性质即可得出答案. 【解题过程】解：（1）填表如下：
王方10次射箭得分情况 李明10次射箭得分情况 7 8 9 10 环数 6 7 8 9 10 环数 6 频数 频率
1 0.1 2 0.2 1 0.1 3 0.3 3 0.3 频数 频率 0 0 0 0 6 0.6 3 0.3 1 0.1 （2）x王方=6?0.1+7?0.2+8?0.1+9?0.3+10?0.3=8.5，
x李明=8?0.6+9?0.3+10?0.1=8.5，
（3）s王方=2s李明=21?22222??6-8.5?+2??7-8.5?+?8-8.5?+3??9-8.5?+3??10-8.5??=1.85，
?10?1?222?6??8-8.5?+3??9-8.5?+?10-8.5??=0.45，
?10?2∵s王方＞s李明，
∴李明的成绩较稳定，
∴应选派李明参加比赛合适.
【知识点】数据的统计，平均数，方差
22.（2019湖南怀化，22，12分） 如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH. （1）计算∠CAD的度数；
（2）连接AE，证明：AE=ME； （3）求证：ME2=BM·BE.
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【思路分析】（1）根据A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点可得∠COD的度数，根据圆周角定理可得∠CAD的度数，同理可得∠EBD，∠ACE，∠BDA，∠CEB的度数；
（2）根据圆周角定理可得∠AEB=∠BDA，∠DAE=∠EBD，根据（1）可得出∠MAE=∠AME，进而得出结论； （3）连接AB，由（2）△ABE∽△NAE，△ABM≌△EAN，进而得出案.
【解题过程】（1）解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
ABBE，AN=BM，根据AE=ME即可得出答?ANAE360o∴∠COD==72°，
5∴∠CAD=
1∠COD=36°. 2同理可得∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°. （2）∵∠AEB=∠BDA，∠DAE=∠EBD，
又∵∠CAD=∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°， ∴∠MAE=72°，∠AEB=36°， ∴∠MAE=∠AME=72°， ∴AE=ME.
（3）连接AB.
由（2）可知∠NAE=∠AEN=36°，∠ABE=∠AEB=36°，AB=AE ∴△ABE∽△NAE，△ABM≌△EAN， ∴
ABBE，AN=BM， ?ANAE∴AB·AE=BE·AN， ∵AE=ME， ∴ME2=BM·BE.
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【知识点】圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
23.（2019湖南怀化，23，14分）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB=1，tan∠ABO=3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y=-x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点. （1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线l：y=kx-k+3与二次函数图象相交于M，N两点. ①若S△PMN=2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出抛物线的表达式.
【思路分析】（1）根据题意分别求出点A和点C的坐标，并把坐标代入y=-x2+bx+c，解出b和c的值即可，进而得出顶点P的坐标；
（2）①设M（x1，y1），N（x2，y2），首先求出定点Q的坐标，然后根据S△PMN=
1PQ·(x2-x1)得出x1和x2的数量关系，2最后联立方程y=-x2+2x+3与方程y=kx-k+3，根据根与系数的关系得出x1+x2=2-k，x1·x2=-k，进而求出k的值； ②过点P作PG⊥x轴，垂足为G，分别过点M、N作PG的垂线，垂足分别为E、F，首先表示出线段PE，ME， PF，NF，然后根据锐角三角函数的定义得出tan∠PAE与tan∠FPN，根据x1+x2=2-k，x1·x2=-k，可得1-x1=进而推出tan∠PAE=tan∠FPN，进而证明出结论；
1，x2?12?k?k2?6③设线段MN的中点（x，y），由②可得MN的中点为（，）进而得出抛物线方程.
22【解题过程】（1）解：∵OB=1，tan∠ABO=3，
∴OA=OBtan∠ABO=3， ∴A（0，3）.
根据旋转的性质可得Rt△AOB≌Rt△COD，
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∴OC=OA=3， ∴C（3，0），
?c=3?b?2根据题意可得?，解得?，
?9?3b?c?0c?3??∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3，顶点坐标P（1，4）
（2）①解：由直线l的方程y=kx-k+3可得定点Q（1，3）， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则 S△PMN=
1PQ·(x2-x1)=2， 2∴x2-x1=4.
联立y=-x2+2x+3与y=kx-k+3可得x2+(k-2)x-k=0， ∴x1+x2=2-k，x1·x2=-k，
∴(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1·x2=k2+4=16， ∴k=±23. ②证明：过点P作PG⊥x轴，垂足为G，分别过点M、N作PG的垂线，垂足分别为E、F.
设M（x1，y1），N（x2，y2）.
∵M，N在二次函数y=-x2+2x+3图象上， ∴y1=-x12+2x1+3，y2=-x22+2x2+3. ∵P（1，4），
∴PE=4-y1=4+x12-2x1-3=(x1-1)2，ME=1-x1， PF=4-y2=4+x22-2x2-3=(x2-1)2，NF=x2-1，
PE?x1?1?∴tan∠PAE==?1?x1， ME1?x1tan∠FPN=
2x?1FN1. ?22?PF?x2?1?x2?1由①可知x1+x2=2-k，x1·x2=-k，
∴x1+x2=2+x1x2， ∴(1-x1)(x2-1)=1， ∴1-x1=
1， x2?1∴tan∠PAE=tan∠FPN，
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∴∠PAE=∠FPN.
∵∠PAE+∠APE=90°， ∴∠FPN+∠APE=90°， 即∠APN=90°，
∴无论k为何值，△PMN恒为直角三角形. ③解：设线段MN的中点（x，y），
2?k?k2?6由②可得MN的中点为（，），
222?k?
x???2∴?，化简，得y=-2x2+4x+1. 2
?y??k?6??2
∴抛物线的表达式为y=-2x2+4x+1.
【知识点】待定系数法求二次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点问题，锐角三角函数的定义，一元二次方程根与系数的关系，中点坐标公式
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2019湖南怀化市中考数学试卷及答案解析
