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∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC，∴DI=DG，DG=DH．∴DH=DI．
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形，∴S□DECF=CE·DH =CF·DI，∴CE=CF．
∴□DECF为菱形．
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四：在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．
(1) 当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE＝PD＋
33PQ；
（2）若 BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与 x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PG的长。
解：（1）证明：∵∠A=90° ∠ABE=30° ∠AEB=60° ∵EB=ED ∴∠EBD=∠EDB=30°
∵PQ∥BD ∴∠EQP=∠EBD ∠EPQ=∠EDB ∴∠EPQ=∠EQP=30° ∴EQ=EP
过点E作EM⊥OP垂足为M ∴PQ=2PM ∵∠EPM=30°∴PM=
33PE ∴PE=PQ 233 PQ 3 ∵BE=DE=PD+PE ∴BE=PD+
（2）解：由题意知AE=
1BE ∴DE=BE=2AE211
∵AD=BC=6 ∴AE=2 DE=BE=4
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当点P在线段ED上时（如图1） 过点Q做QH⊥AD于点H QH=
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11PQ=x22 由（1）得PD=BE-
33PQ=4-x
33 ∴y=
321x?x PD·QH=?1221x2 当点P在线段ED的延长线上时（如图2）过点Q作QH⊥DA交DA延长线于点H’ ∴QH’=
过点E作EM’⊥PQ于点M’ 同理可得EP=EQ=
33PQ ∴BE=PQ-PD33 ∴PD=
3213x?x x-4 y=PD·QH’=1223 （3）解：连接PC交BD于点N（如图3）∵点P是线段ED中点 ∴EP=PD=2 ∴PQ=23 ∵DC=AB=AE·tan60°=23 ∴PC=PD?DC=4 ∴cos∠DPC= ∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90° ∵PQ∥BD ∴∠PND=∠QPC=90° ∴PN=
2222PD1= ∴∠DPC=60°PC21PD=1 2 QC=PQ?PC=27 ∵∠PGN=90°-∠FPC ∠PCF=90°-∠FPC ∴∠PCN=∠PCF……………1分 ∵∠PNG=∠QPC=90° ∴△PNG～△QPC ∴
21PGPN1 ∴PG=??27=
3QCPQ23五：如图,这是一张等腰梯形纸片,它的上底长为2,下底长为4,腰长为2,这样的
纸片共有5张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意图,并写出它们的周长.
2224解：如图所示
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六：已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.求证:AE平分∠BAD.
BEC证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=∠BAD=90° AB=CD∴∠BEF+∠BFE=90°
∵EF⊥ED∴∠BEF+∠CED=90°∴∠BEF=∠CED∴∠BEF=∠CDE又∵EF=ED∴△EBF≌△CDE∴BE=CD
∴BE=AB∴∠BAE=∠BEA=45°∴∠EAD=45°∴∠BAE=∠EAD∴AE平分∠BAD
FA（第23题）D七：如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的E点上,BG=10.
(1)当折痕的另一端F在AB边上时,如图(1).求△EFG的面积.
(2)当折痕的另一端F在AD边上时,如图(2).证明四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长.
AFBEHDAFBEDAFH(A)E(B)DG图（1）
CGCBG图（2）
C解:(1)过点G作GH⊥AD,则四边形ABGH为矩形,∴GH=AB=8,AH=BG=10,由图形的折叠可知△BFG≌△EFG,∴EG=BG=10,∠FEG=∠B=90°；∴EH=6,AE=4,∠AEF+∠HEG=90°,∵∠AEF+∠AFE=90°,∴∠HEG=∠AFE,又∵∠
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EHG=∠A=90°,∴△EAF∽△EHG,∴
EF?AE,∴EF=5,∴S△EFG=
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11EF·EG=×5×10=25.
EGGH22(2)由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF,∴BG=EG,AB=EH,∠BGF=∠EGF,∵EF∥BG，∴∠BGF=∠EFG,∴∠EGF =∠EFG,∴EF=EG,
∴BG=EF,∴四边形BGEF为平行四边形,又∵EF=EG,∴平行四边形BGEF为菱形；连结BE，BE、FG互相垂直平分，在Rt△EFH中,EF=BG=10,EH=AB=8,由勾股定理可得
AH(A)FOE(B)DFH=AF=6，∴AE=16，∴BE=AE2?AB2=85，∴BO=45，∴
BGCFG=2OG=2BG?BO=45。22八：（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个
不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹）（2）写出你的作法．
解：（1）所作菱形如图①、②所示．
说明：作法相同的图形视为同一种．例如类似图③、图④的图形视为与图②是同一种．
（2）图①的作法：
作矩形A1B1C1D1四条边的中点E1、F1、G1、H1；连接H1E1、E1F1、G1F1、G1H1．四边形E1F1G1H1即为菱形．图②的作法：
在B2C2上取一点E2，使E2C2＞A2E2且E2不与B2重合；以A2为圆心，A2E2为半径画弧，交A2D2于H2；
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以E2为圆心，A2E2为半径画弧，交B2C2于F2；连接H2F2，则四边形A2E2F2H2为菱形．
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九：如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重
合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；（2）设AP=x, △PBE的面积为y.
BA
PD
① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.
解：（1）证法一：
① ∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°. ∵ PC=PC，
∴ △PBC≌△PDC （SAS）.
∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC. 又∵ PB= PE ，
∴ PE=PD.
② （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，
A
∵ PB=PE，
∴ ∠PBE=∠PEB，∴ ∠PEB=∠PDC，
∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，
∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，B∴ PE⊥PD. ）
（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD.（iii）当点E在BC的延长线上时，如图.∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，∴ ∠DPE=∠DCE=90°，∴ PE⊥PD.综合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD.
（2）① 过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE.
A∵ AP=x，AC=2，
P22∴ PC=2- x，PF=FC=(2?x)?1?x.
22 BF=FE=1-FC=1-(1?E
CD
P1
H2CE
D
22x.x)=221222∴ S△PBE=BF·PF=x(1?x. x)??x2?222215
BFE
C
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