2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案
一、选择题
?a?2b?3c?0，ab?bc?ca1．设非零实数a，b，c满足?则2的值为（ ）． 222a?3b?4c?0，a?b?c?1（A）?
2（B）0
（C）
1 2（D）1
【答案】A
【解答】由已知得a?b?c?(2a?3b?4c)?(a?2b?3c)?0，故(a?b?c)2?0．于是
1ab?bc?ca1． ab?bc?ca??(a2?b2?c2)，所以2??222a?b?c22．已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0有两个非零实根x1，
x2，则下列关于x的一元二次方程中，以
11，为两个实根的是（ ）． 22x1x2（A）c2x2?(b2?2ac)x?a2?0 （C）c2x2?(b2?2ac)x?a2?0 【答案】B
（B）c2x2?(b2?2ac)x?a2?0 （D）c2x2?(b2?2ac)x?a2?0
【解答】由于ax2?bx?c?0是关于x的一元二次方程，则a?0．因为x1?x2??b，a2?2x1x2b2?2c11(x1?x2)ac11a2，2?2?2， x1x2?，且x1x2?0，所以c?0，且 2?2??222ax1x2x1x2cx1x2c于是根据方程根与系数的关系，以
11，为两个实根的一元二次方程是22x1x2b2?2aca2x?x??0，即c2x2?(b2?2ac)x?a2?0． 2cc23．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E．若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数．．．的为（ ）．
（A）OD （C）DE
（B）OE （D）AC
（第3题）
【答案】D
【解答】因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA＝OB＝OC＝数．
OD2DC·DO由Rt△DOE∽Rt△COD，知OE?，DE?都
OCOCAB不一定是有理数． 是有理数，而AC＝AD·4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F
（第3题答题）
AD?BD是有理数．于是，OD＝OA－AD是有理2
在线段BC的延长线上，且BC?4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．
（A）3 （C）6 【答案】C
【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC． 连接CE，因为DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB = S△DEC， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积．
连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE = S△ACF．
因为BC?4CF，所以S△ABC = 4S△ACF．故阴影部分的面积为6．
（B）4 （D）8
（第4题）
5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：
x?y?3x3y?3x2y2?xy3?45
（第4题答题）
?x?1???y?1?1821 96733?60，
且x?y?z??x?y??z，则2013?2012?（A）
607 967． ?3?2的值为（ ）（C）
5463 967（B）（D）
16389 967【答案】C
【解答】设2013?2012??4?m，则
?2013?2012?3m3?3?3m2?9?m?27?45?9， ?4??3?m?3?32m?3m?3m?1?64?603?93?2?3?92?22?9?23?455463?． ?3??2?9?2?103?33?60967于是?2013?2012?
二、填空题
6．设a?3，b是a2的小数部分，则(b?2)3的值为 ． 【答案】9
【解答】由于1?a?2?a2?3，故b?a2?2?9?2，因此(b?2)3?(39)3?9． 7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD的面积是 ．
【答案】
33204 13（第7题）
【解答】如图，连接AF，则有：
S?AEF?4S?AEF?S?BFEBFS?BCF5=???，
S?AFDS?AFDFDS?CDF3S?AFD?3S?AFD?S?CDFCFS?BCF5????，
S?AEFS?AEFFES?BEF4解得S?AEF?10896，S?AFD?． 1313（第7题答题）
所以，四边形AEFD的面积是
204． 138．已知正整数a，b，c满足a?b2?2c?2?0，3a2?8b?c?0，则abc的最大值为 ．
【答案】2013
【解答】由已知a?b2?2c?2?0，3a2?8b?c?0消去c，并整理得
?b?8?2?6a2?a?66．由a为正整数及6a2?a≤66，可得1≤a≤3．
22若a?1，则?b?8??59，无正整数解； 若a?2，则?b?8??40，无正整数解；
若a?3，则?b?8??9，于是可解得b?11，b?5． （i）若b?11，则c?61，从而可得abc?3?11?61?2013； （ii）若b?5，则c?13，从而可得abc?3?5?13?195． 综上知abc的最大值为2013．
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2013年全国初中数学竞赛试题参考答案(word版)
