高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、方程的曲线：
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0。
两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点?{个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆：
1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.
2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)+(y-b)=r 圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x+y=r
(2)一般方程：①当D+E-4F＞0时，一元二次方程x+y+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(?2
2
2
2
2
2
22
2
2
f1(x0,y0)?0f2(x0,y0)?0方程组有n
DE,?)半径是22D2?E2?4F。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+
2DE)+(y+222
222
)=D?E-4F
4②当D+E-4F=0时，方程表示一个点(-2
2
22
DE,-22);
③当D+E-4F＜0时，方程不表示任何图形.
（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则｜MC｜＜r?点M在圆C内，｜MC｜=r?点M在圆C上，｜MC｜＞r?点M在圆C内，其中｜MC｜=一个公共点；直线与圆相离?没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。 四、椭圆、双曲线、抛物线： 椭圆 1．到两定点F1,F2的距离之和为定义 定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0
（4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交?有两个公共点；直线与圆相切?有
?Aa?Bb?CA?B22与半径r的大
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轨迹条件 点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a＝ 点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜. =±2a,｜F2F2｜＞2a}. 点集{M｜ ｜MF｜=点M到直线l的距离}. 图形 方 程 标准方程 x2y2?2?1(a?b>0) 2abx2y2?2?1(a>0,b>0) 2aby2?2px 参数方程 ?x?acos??y?bsin? ?(参数?为离心角）?x?asec??y?btan? ?(参数?为离心角）?x?2pt2?y?2pt?(t为参数) 范围 ─a?x?a，─b?y?b |x| ? a，y?R x?0 中心 原点O（0，0） (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b 原点O（0，0） 顶点 (a,0), (─a,0) x轴，y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. (0,0) 对称轴 x轴 焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0) pF(,0) 2准 线 ax=±c2 a2x=±c侧. x=-p2 准线垂直于长轴，且在椭圆外. 准线垂直于实轴，且在两顶点的内准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等. 焦距 2c （c=a2?b2） 2c （c=a2?b2c(e?1) a） 离心率 e?c(0?e?1) ae?- 2 -
e=1
【备注1】双曲线：
222⑶等轴双曲线：双曲线x?y??a称为等轴双曲线，其渐近线方程为y??x，离心率e?2.
x2y2x2y2⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2?2??与2?2???abab互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：
x2a2?y2b2?0.
x2a2y2b2⑸共渐近线的双曲线系方程：
x2a2?y2b2??(??0)的渐近线方程为??0如果双曲线的渐近线为
xy??0时，它的双曲ab线方程可设为
x2a2?y2b2??(??0).
【备注2】抛物线： （1）抛物线
y2=2px(p>0)的焦点坐标是(
p2,0)，准线方程x=-
p2 ，开口向右；抛物线
y2=-2px(p>0)的焦点坐标是(-
p2,0)，
准线方程x=
p2，开口向左；抛物线x=2py(p>0)的焦点坐标是(0,
2p2)，准线方程y=-
p2 ，开口向上；
抛物线x=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-
2p2），准线方程y=
p2，开口向下.
（2）抛物线
y2=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF?x0?p2；抛物线y=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的2距离
MF?p?x0 2y2=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为
（3）设抛物线的标准方程为p.
（4）已知过抛物线
p2，顶点到准线的距离
p2，焦点到准线的距离为
y2=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长
AB=x1?x2+p或
五、坐标的变换：
2pAB?sin2?p2p,AF?x1?(AF(α为直线AB的倾斜角)，y1y2??p，x1x2?422叫做焦半径).
（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。 （3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x',y').
设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 叫做平移(或移轴)公式.
（4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：
x?x'?hy?y'?k或
x'?x?hy'?y?k
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高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析
