绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A???1,0,1,2?，B?xx?1，则A?B?（ ）
2??A. ??1,0,1? 【答案】A 【解析】 【分析】
先求出集合B再求出交集. 【详解】
? B. ?0,1C. ??1,1?
D. ?0,1,2?
x2?1,??1?x?1，
∴B?x?1?x?1，则A?B???1,0,1?， 故选A．
【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.
2.若z(1?i)?2i，则z?（ ） A. ?1?i 【答案】D
B. ?1+i
C. 1?i
D. 1+i
?? 1
【解析】 【分析】
根据复数运算法则求解即可. 【详解】z?2i2i(1?i)??1?i．故选D． 1?i(1?i)(1?i)【点睛】本题考查复数商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．
《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某3.《西游记》
中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】
B. 0.6
C. 0.7
D. 0.8
根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.
100=0.7．【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷故选C．
的3
【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．
（1+x）的展开式中x的系数为 4.（1+2x）A. 12 【答案】A 【解析】 【分析】
B. 16
C. 20
D. 24
2
4
2
本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．
313
【详解】由题意得x的系数为C4?2C4?4?8?12，故选A．
【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
5.已知各项均为正数的等比数列?an?的前4项和为15，且a5?3a3?4a1，则a3?（ ） A. 16 【答案】C 【解析】 【分析】
利用方程思想列出关于a1,q的方程组，求出a1,q，再利用通项公式即可求得a3的值．
B. 8
C. 4
D. 2
?a1?a1q?a1q2?a1q3?15,【详解】设正数的等比数列{an}的公比为q，则?4， 2aq?3aq?4a11?1?a1?1,2解得?，?a3?a1q?4，故选C．
?q?2【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键。
6.已知曲线y?ae?xlnx在点?1,ae?处的切线方程为y?2x?b，则（ ）
xA. a?e,b??1 【答案】D 【解析】 【分析】
B. a?e,b?1
C. a?e,b?1
?1D. a?e,b??1
?1通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a，将点的坐标代入直线方程，求得b． 【详解】详解：y??ae?lnx?1,
xk?y?|x?1?ae?1?2，?a?e?1
将(1,1)代入y?2x?b得2?b?1,b??1，故选D．
3
【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系。
2x3在??6,6?的图像大致为 7.函数y?x?x2?2A. B. C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由f(4)的近似值即可得出结果．
2x32(?x)32x3【详解】设y?f(x)?x，则f(?x)??x??x??f(x)，所以f(x)是奇函数，图象?xx?x2?22?22?22?432?63关于原点成中心对称，排除选项C．又f(4)?4?0,排除选项D；f(6)?6?7，排除选项?4?62?22?2A，故选B．
【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
8.如图，点N为正方形ABCD的中心，?ECD为正三角形，平面ECD?平面ABCD,M是线段ED的中
4
点，则（ ）
A. BM?EN，且直线BM,EN是相交直线 B. BM?EN，且直线BM,EN是相交直线 C. BM?EN，且直线BM,EN是异面直线 D. BM?EN，且直线BM,EN是异面直线 【答案】B 【解析】 【分析】
利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．
【详解】如图所示， 作EO?CD于O，连接ON，过M作MF?OD于F． 连BF，
平面CDE?平面ABCD．
EO?CD,EO?平面CDE，?EO?平面ABCD，MF?平面ABCE，
??MFB与?EON均为直角三角形．设正方形边长为2，易知EO?3,ON?1MF?32,BF?52,?BM?7．?BM?EN，故选B．
5
EN?2，
【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性。
9.执行如图所示的程序框图，如果输入的?为0.01，则输出s的值等于（ ）
A. 2?1 24B. 2?1 25C. 2?1 26D. 2?1 27【答案】C 【解析】 【分析】
根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果. 【详解】输入的?为0.01，
x?1.S?0?1,x?0.5?0.01?不满足条件；
11S?0?1?,x??0.01?不满足条件；
24???
6
1S?0?1??2输出S?1??11,x??0.0078125?0.01?满足条件 621281??1??6，故选D． 2?111????6?2?1?722?2【点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析．
x2y2=1的右焦点为F，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若PO=PF，则△PFO10.双曲线C：?42的面积为
32A.
4【答案】A 【解析】 【分析】
32B. 2x1C.
x2D. 32 本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题． 详解】由a?2,b?2,c?a2?b2?6,．
【?S△PFO?高，便可求三角形面积．
PO?PF,?xP?6， 2又P在C的一条渐近线上，不妨设为在y?2x上， 211332，故选A． OF?yP??6??2224【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的
11.设f?x?是定义域为R的偶函数，且在?0,???单调递减，则（ ）
7
2?????3?1??A. f?log3??f?22??f?23?
4??????3????2??1??B. f?log3??f?23??f?22?
4??????2?????3?1??C. f?22??f?23??f?log3?
4????????2???3?1??3D. f?2??f?22??f?log3?
4??????【答案】C 【解析】 【分析】
2????1???3?由已知函数为偶函数，把f?log3?,f?22?,f?23?，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
4??????【详解】
1???flogf?x?是R偶函数，?3??f?log34?．
4??log34?log33?1,1?2?2又f?x?在(0，+∞)单调递减，
3????2??∴f?log34??f?23??f?22?，
????2?????3?1???f?22??f?23??f?log3?，故选C．
4??????【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
12.设函数f?x?=sin（?x?①f?x?在（0,2?）有且仅有3个极大值点 ②f?x?在（0,2?）有且仅有2个极小值点
的0?23?2,?log34?2?32?23?2，
?32?）(?＞0)，已知f?x?在?0,2??有且仅有5个零点，下述四个结论： 5 8
?）单调递增 101229④?的取值范围是[，)
510③f?x?在（0,其中所有正确结论的编号是 A. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】
本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5??2???析得出答案．
【详解】当x?[0,2?]时，?x?B. ②③
C. ①②③
D. ①③④
?5?6?，结合正弦函数的图像分
???????,2????， 5?55?∵f（x）在[0,2?]有且仅有5个零点， ∴5??2???∴
?5?6?，
1229???，故④正确， 510由5??2???令?x??5,?6?，知?x?,???????,2????时， 5?55??5??5?9?222时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 当x??0,???(??2)??????x???,时，， ??551010????????单调递增， 10??若f（x）在?0,则
(??2)??? ，即?<3 ， 1021229???∵，故③正确． 510 9
故选：D．
【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知a,b为单位向量，且a?b=0，若c?2a?5b ，则cos?a,c??___________. 【答案】
2 3【解析】 【分析】
2根据|c|结合向量夹角公式求出|c|，进一步求出结果. 【详解】因为c?2a?5b，a?b?0， 所以a?c?2a2?5a?b?2，
|c|2?4|a|2?45a?b?5|b|2?9，所以|c|?3，
所以cos?a,c??
.
a?c22??． a?c1?33【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
14.记Sn为等差数列{an}的前n项和，a1≠0，a2?3a1，则【答案】4. 【解析】 【分析】
根据已知求出a1和d的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果. 【详解】因a2?3a1，所以a1?d?3a1，即2a1?d，
S10?___________. S5 10
10?9dS10100a12???4． 所以
5?4S525a15a1?d210a1?【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
x2y215.设F1，F2为椭圆C:+?1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，
3620则M的坐标为___________. 【答案】3,15 【解析】 【分析】
??MF2，设出M的坐标，结合三角形面积可求出M的坐标. 根据椭圆的定义分别求出MF1、【详解】由已知可得a?36,b?20,?c?a?b?16,?c?4，
22222?MF1?F1F2?2c?8．∴MF2?4．
设点M的坐标为?x0,y0??x0?0,y0?0?，则S△MF1F2?又S△MF1F2?1?F1F2?y0?4y0， 21?4?82?22?415,?4y0?415，解得y0?15， 22x??3620?15?20， ?1，解得x0?3（x0??3舍去）
\\M的坐标为3,15．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD?A1B1C1D1挖去四棱锥O?EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中点，
?? 11
AB=BC=6cm, AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原
料的质量为___________g.
【答案】118．8 【解析】 【分析】
根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量. 【详解】由题意得， SEFGH?4?6?4??2?3?12cm， 四棱锥O?EFG的高3cm， ∴VO?EFGH1221??12?3?12cm3． 33又长方体ABCD?A1B1C1D1的体积为V2?4?6?6?144cm， 2所以该模型体积为V?V2?V1?144?12?132cm，
其质量为0.9?132?118.8g．
【点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A,B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
12
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P?C?的估计值为0.70. （1）求乙离子残留百分比直方图中a,b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 【答案】(1) a?0.35，b?0.10；(2) 4.05，6. 【解析】 【分析】
(1)由P(C)?0.70及频率和为1可解得a和b的值；(2)根据公式求平均数.
【详解】(1)由题得a?0.20?0.15?0.70，解得a?0.35，由0.05?b?0.15?1?P(C)?1?0.70，解得
b?0.10.
(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为
0.15?2?0.20?3?0.30?4?0.20?5?0.10?6?0.05?7?4.05，
乙离子残留百分比的平均值为0.05?3?0.10?4?0.15?5?0.35?6?0.20?7?0.15?8?6 【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.
18.?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asin（1）求B；
（2）若?ABC为锐角三角形，且c?1，求?ABC面积的取值范围． 【答案】(1) B?【解析】 【分析】
(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得B?A?C?bsinA． 2?3;(2)(33,). 82?3.(2)
13
1ac?sinB，又根据正弦定理和c?1得到SABC关于C的函数，由于VABC2?是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算C的定义域，最后求解SABC(C)的值域.
2A?CA?C?bsinA，由正弦定理得sinAsin?sinBsinA，因为0?A??，【详解】(1)根据题意asin22A?C?sinB。 故sinA?0，消去sinA得sin2A?CA?CA?C??因为故?B或者?B??，而根据题意A?B?C??，故0?B??，0?222?A?CA?C?B??不成立，所以?B，又因为A?B?C??，代入得3B??，所以B?. 223?2(2)因为VABC是锐角三角形，由（1）知B?，A?B?C??得到A?C??，
33根据三角形面积公式SABC???0?C?????2故?，解得?C?.
62?0?2??C???32?又应用正弦定理
ac?，c?1， sinAsinC由三角形面积公式有：
112a12sinA3?ac?sinB?c?sinB?c?sinB??ABC22c2sinC42?2?sincosC?cossinC332?12?313. 33????(sin?cos)??4sinC43tanC38tanC8S又因
sin(2??C)3sinC?6?C??2,tanC?333133,故， ???388tanC82故3?S8ABC?3. 233,) 82故SABC的取值范围是(【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查VABC是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道很好的考题.
14
Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，19.图1是由矩形ADEB，
将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B?CG?A的大小.
【答案】(1)见详解；(2) 30. 【解析】 【分析】
(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED，RtABC和菱形BFGC内部的夹角，所以AD//BE，BF//CG依然成立，又因E和F粘在一起，所以得证.因为AB是平面BCGE垂线，所以易证.(2)在图中找到
B?CG?A对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑B关于GC的垂线，发现此垂足与A的连线也垂
直于CG.按照此思路即证. 【详解】(1)证：
AD//BE，BF//CG，又因为E和F粘在一起.
?AD//CG，A，C，G，D四点共面.
又
AB?BE,AB?BC.
?AB?平面BCGE，
AB?平面ABC，?平面ABC?平面BCGE，得证.
(2)过B作BH?GC延长线于H，连结AH，因为AB?平面BCGE，所以AB?GC
而又BH?GC，故GC?平面HAB，所以AH?GC.又因为BH?GC所以?BHA是二面角
B?CG?A的平面角，而在△BHC中?BHC?90，又因为?FBC?60故?BCH?60，所以
BH?BCsin60?3.
而在ABH中?ABH?90,tan?BHA?AB13，即二面角B?CG?A的度数为30. ??BH33 15
【点睛】很新颖的立体几何考题。首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的。再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法。最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力。
20.已知函数f(x)?2x?ax?b. （1）讨论f(x)的单调性；
32（2）是否存在a,b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为?1且最大值为1？若存在，求出a,b的所有值；若不存在，说明理由.
?a?4?a?0 【答案】(1)见详解；(2) ?或?b?1b??1??【解析】 【分析】
(1)先求f(x)的导数，再根据a的范围分情况讨论函数单调性；(2) 根据a的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出a,b的值.
32【详解】(1)对f(x)?2x?ax?b求导得f'(x)?6x?2ax?6x(x?).所以有
当a?0时，(??,)区间上单调递增，(,0)区间上单调递减，(0,??)区间上单调递增； 当a?0时，(??,??)区间上单调递增；
a3a3.16
2a3当a?0时，(??,0)区间上单调递增，(0,)区间上单调递减，(,??)区间上单调递增. (2)若f(x)在区间[0,1]有最大值1和最小值-1，所以
若a?0，(??,)区间上单调递增，(,0)区间上单调递减，(0,??)区间上单调递增；
此时在区间[0,1]上单调递增，所以f(0)??1，f(1)?1代入解得b??1，a?0，与a?0矛盾，所以a?0不成立.
a3a3a3a3
若a?0，(??,??)区间上单调递增；在区间[0,1].所以f(0)??1，f(1)?1代入解得 ??a?0.
?b??1若0?a?2，(??,0)区间上单调递增，(0,)区间上单调递减，(,??)区间上单调递增.
a3a3aa33而f(0)?b,f(1)?2?a?b?f(0)，故所以区间[0,1]上最大值为f(1).
即f(x)在区间(0,)单调递减，在区间(,1)单调递增，所以区间[0,1]上最小值为f()
a3a2?a3?2()?a()?b??1a3即?3相减得2?a?3?2，即a(a?33)(a?33)?0，又因为0?a?2，所以
27??2?a?b?1无解.
若2?a?3，(??,0)区间上单调递增，(0,)区间上单调递减，(,??)区间上单调递增.
a3a3aa33而f(0)?b,f(1)?2?a?b?f(0)，故所以区间[0,1]上最大值为f(0).
即f(x)在区间(0,)单调递减，在区间(,1)单调递增，所以区间[0,1]上最小值为f()
a3a2?a32()?a()?b??1?a3即?3相减得3?2，解得x?332，又因为2?a?3，所以无解.
27?b?1?若a?3，(??,0)区间上单调递增，(0,)区间上单调递减，(,??)区间上单调递增. 所以有f(x)区间[0,1]上单调递减，所以区间[0,1]上最大值为f(0)，最小值为f(1) 即?a3a3?b?1?a?4. 解得??2?a?b??1?b?1?a?4?a?0. 或??b??1?b?1综上得?【点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少。考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算。思考量不大，由计算量补充。
1x2，D为直线y=?上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. 21.已知曲线C：y=
22（1）证明：直线AB过定点：
17
（2）若以E(0，
5)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 2【答案】(1)见详解；(2) 3或42. 【解析】 【分析】
B(x2,y2)，B两点处的切线方程，D(t,?)然后求出A，（1）可设A(x1,y1)，比如AD：y1?又因为BD也有类似的形式，从而求出带参数直线AB方程，最后求出它所过的定点.
121?x1(x1?t)，2（2）由(1)得带参数的直线AB方程和抛物线方程联立，再通过M为线段AB的中点，EM?AB得出t的值，从而求出M坐标和EM的值，d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离，则
d1?t2?1,d2?2t2?1，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.
【详解】(1)证明：设D(t,?),A(x1,y1),则y1?又因为y?故y1?1212x1。 212x，所以y'?x.则切线DA的斜率为x1， 21?x1(x1?t)，整理得2tx1?2y1?1?0. 2设B(x2,y2)，同理得2tx1?2y1?1?0.
A(x1,y1),B(x2,y2)都满足直线方程2tx?2y?1?0.
于是直线2tx?2y?1?0过点A,B，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB方程为2tx?2y?1?0.即2tx?(?2y?1)?0，
当2x?0,?2y?1?0时等式恒成立。所以直线AB恒过定点(0,). （2）由（1）得直线AB的方程为y?tx?121. 21?y?tx???2由?，可得x2?2tx?1?0， 2?y?x?2?2于是x1?x2?2t,x1x2??1,y1?y2?t(x1?x2)?1?2t?1
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|AB|?1?t2|x1?x2|?1?t2(x1?x2)2?4x1x2?2(t2?1).
设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离，则d1?t?1,因此，四边形ADBE的面积S?2d2?2t?12.
1|AB|?d1?d2???t2?3?t2?1. 22设M为线段AB的中点，则M?t,t???1??， 2?由于EM?AB，而EM?t,t?2，AB与向量(1,t)平行，所以t?t?2t?0，解得t?0或t??1. 当t?0时，S?3；当t??1时S?42 因此，四边形ADBE的面积为3或42. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以。思路较为清晰，但计算量不小。
?2??2?（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B(2,)，C(2,圆心分别是(1,0)，(1,?4??)，D(2,?)，弧AB，BC，CD所在圆的4?2)，(1,?)，曲线M1是弧AB，曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD.
（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|?3，求P的极坐标.
?3?3?]),??2sin?(??[,]),???2cos?(??[,?]), 4444??2?5?),(3,). (2) (3,),(3,),(3,3366【答案】(1) ??2cos?(??[0,?【解析】
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【分析】
(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中?的取值范围. (2)根据条件??3逐个方程代入求解，最后解出P点的极坐标.
【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.
M1:??2cos?(??[0,])，
4???3?3?M2:??2cos(??)?2sin?(??[,]),M3:??2cos(???)??2cos?(??[,?]).
2444(2)解方程2cos??3(??[0,解方程2sin??3(??[?4])得???6，此时P的极坐标为(3,?6)
?3?44,])得???3或???2?2?) ，此时P的极坐标为(3,)或(3,3335?3?5?,?])得??) ，此时P的极坐标为(3,466??2?5?),(3,). 故P的极坐标为(3,),(3,),(3,3366解方程?2cos??3(??[【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.
23.设x,y,z?R，且x?y?z?1.
（1）求(x?1)?(y?1)?(z?1)的最小值； （2）若(x?2)?(y?1)?(z?a)?【答案】(1) 【解析】 【分析】
222(1)根据条件x?y?z?1，和柯西不等式得到(x?1)?(y?1)?(z?1)?2222221成立，证明：a≤?3或a??1. 34；(2)见详解. 34，再讨论x,y,z是否可以达到3等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的x,y,z代入原不等式，便可得到参数a的取值范围.
22222222【详解】(1) [(x?1)?(y?1)?(z?1)](1?1?1)?[(x?1)?(y?1)?(z?1)]?(x?y?z?1)?4故
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5?x??3?14?(x?1)2?(y?1)2?(z?1)2?等号成立当且仅当x?1?y?1?z?1而又因x?y?z?1，解得?y??33?1?z???3?时等号成立
所以(x?1)2?(y?1)2?(z?1)2的最小值为(2)
因为(x?2)?(y?1)?(z?a)?2224. 31222222，所以[(x?2)?(y?1)?(z?a)](1?1?1)?1. 3a?2?x?2??3?a?2?根据柯西不等式等号成立条件，当x?2?y?1?z?a，即?y?1?时有
3?a?2?z?a??3?[(x?2)2?(y?1)2?(z?a)2](12?12?12)?(x?2?y?1?z?a)2?(a?2)2成立.
所以(a?2)?1成立，所以有a≤?3或a??1.
【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.
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《高考真题》2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）（解析版）
