2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1) 下列曲线有渐近线的是 ( )
(A)y?x?sinx (B)y?x2?sinx (C)y?x?sin【答案】(C)
112 (D)y?x?sin xx11sinx?lim1?limx?1?0?1，又 【解析】关于C选项：limx??x??x??xx111lim[x?sin?x]?limsin?0，所以y?x?sin存在斜渐近线y?x. x??x??xxxx?sin故选(C).
(2) 设函数f(x)具有二阶导数，g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则在区间[0,1]上 ( )
(A) 当f?(x)?0时，f(x)?g(x) (B) 当f?(x)?0时，f(x)?g(x) (C) 当f??(x)?0时，f(x)?g(x) (D) 当f??(x)?0时，f(x)?g(x) 【答案】(D)
【解析】令F(x)?g(x)?f(x)?f(0)(1?x)?f(1)x?f(x)，则
F(0)?F(1)?0,
F?(x)??f(0)?f(1)?f?(x),F??(x)??f??(x).
若f??(x)?0，则F??(x)?0，F(x)在[0,1]上为凸的.
又F(0)?F(1)?0，所以当x?[0,1]时，F(x)?0，从而g(x)?f(x). 故选(D).
(3) 设f(x,y)是连续函数，则
(A)
?dy?00?111?y?1?y21?x2f(x,y)dx? ( )
f(x,y)dy
1
?dx?01x?10f(x,y)dy??dx?0
(B)
?10dx?1?x0f(x,y)dy??dx??100?1?x2f(x,y)dy
?1?(C)
?20d??1cos??sin?0f(rcos?,rsin?)dr???d??f(rcos?,rsin?)dr
20?(D)
?20d??1cos??sin?0f(rcos?,rsin?)rdr???d??f(rcos?,rsin?)rdr
20?1【答案】(D) 【解析】
??010dy?1?y?1?y2f(x,y)dx??dx??101?x20f(x,y)dy??dx?011?x0f(x,y)dy
??2d??1cos??sin?0f(rcos?,rsin?)rdr???d??f(rcos?,rsin?)rdr.
20?1 故选(D). (4) 若
?π-π(x?a1cosx?b1sinx)dx?mina,b?R2??(x?acosx?bsinx)dx?π2-π，则
a1cosx?b1sinx? ( )
(A) 2sinx (B) 2cosx (C) 2?sinx (D) 2?cosx 【答案】(A) 【解析】
2222?(x?acosx?bsinx)dx?(x?bsinx)?2acosx(x?bsinx)?axcosx?????????dx
?? ? ?????(x2?2bxsinx?b2sin2x?a2cos2x)dx
2??xdx?2??22??0(b2sin2x?a2cos2x?2bxsinx)dx
?2??4b?2??3 22232322 ??(a?b?4b)??
32322?a?(b?2)?4? ?????3?
?4(a?b) 当a?0,b?2时，积分最小. 故选(A).
?1 2
0ab(5) 行列式
0b0d2a00cc020d0? ( )
(A)(ad?bc) (B)?(ad?bc) (C)ad?bc (D)bc?ad 【答案】(B)
【解析】由行列式的展开定理展开第一列
222222220aba00??acd0?c00b
0cd000dcd0c00d0bab0ab0 ??ad(ad?bc)?bc(ad?bc) ??(ad?bc).
故选(B).
(6) 设a1,a2,a3均为三维向量，则对任意常数k,l,向量组a1?ka3,a2?la3线性无关是向量组
2B???1?2?3?线性无关的 ( )
(A)必要非充分条件 (C)充分必要条件 【答案】(A) 【解析】??1?k?3
(B)充分非必要条件 (D)既非充分也非必要条件
?2?l?3????1?2?10???3??01??.
?kl????) 记A???1?k?3?2?l?3?，B???1?2?3?，A. 若?1,?2,?3线性无关，则r(A)?r(BC)?r(C)?2，故P(A?B)?0.3线性无关.
P(B?A)? 举反例. 令?3?0，则?1,?2线性无关，但此时?1,?2,?3却线性相关.
综上所述，对任意常数Q?40?2p，向量p线性无关是向量D线性无关的必要非充分条件. 故选(A).
3
(7) 设随机事件A与B相互独立，且P(B)?0.5，P(A?B)?0.3，则P(B?A)? ( ) (A)0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 【答案】(B) 【解析】 已知a?，
A与f?x1,x2,x3??x12?x2?2ax1x3?4x2x3独立，a，
P(A?B)?P(A)?P(AB)?P(A)?P(A)P(B)
?P(A)?0.5P(A)?0.5P(A)?0.3， 则 P(A)?0.，6
则P(B?A)?P(B)?P(AB)?P(B)?P(A)P(B)?0.5?0.5?0.6?0.5?0.3?0.2.
故选(B).
(8) 设连续性随机变量X1与X2相互独立，且方差均存在，X1与X2的概率密度分别为f1(x)与
11f2(x)，随机变量Y1的概率密度为fY1(y)?[f1(y)?f2(y)]，随机变量Y2?(X1?X2)，则
22 ( )
(A) EY1?EY2，DY1?DY2 (B) EY1?EY2，DY1?DY2
(C) EY1?EY2，DY1?DY2 (D) EY1?EY2，DY1?DY2 【答案】(D)
【解析】 用特殊值法. 不妨设X1,X2 fY1(y)?N(0,1)，相互独立.
?y2211(e22??y22?1e2?)?1e2??y22，Y1N(0,1).
1111Y2?(X1?X2)，E(Y2)?(E(X1)?E(X2))?0,D(Y2)?(D(X1)?D(X2))?.
22421E(Y1)?E(Y2)?0,D(Y1)?1?D(Y2)?.
2故选(D). 二、填空题：9
214小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
2(9) 曲面z?x(1?siny)?y(1?sinx)在点(1,0,1)处的切平面方程为__________. 【答案】2x?y?z?1
4
【解析】由于z?x2(1?siny)?y2(1?sinx)，所以
2?z?x?2x(1?siny)?cosx?y，zx(1,0)?2；
2z???xcosy?2y(1?sinx)，z?yy(1,0)??1.
所以，曲面在点(1,0,1)处的法向量为n?{2,?1,?1}. 故切平面方程为2(x?1)?(?1)(y?0)?(z?1)?0，即
2x?y?z?1.
(10) 设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f?(x)?2(x?1),x?[0,2]，则f(7)?__________. 【答案】1
【解析】由于f?(x)?2(x?1)，x?[0,2]，所以f(x)?(x?1)?C，x?[0,2].
又f(x)为奇函数，f(0)?0，代入表达式得C??1，故
2f(x)?(x?1)2?1，x?[0,2].
f(x)是以4为周期的奇函数，故
f(7)?f(?1?8)?f(?1)??f(1)??[(1?1)2?1]?1.
(11) 微分方程xy??y(lnx?lny)?0满足条件y(1)?e的解为y?__________. 【答案】y?xe2x?13(x?0)
yyln(). xx【解析】xy??y(lnx?lny)?0?y??令u?y，则y?x?u，y??xu??u，代入原方程得 xu(lnu?1) xu??u?ulnu?u??xdudx，两边积分可得 ?u(lnu?1)xln|lnu?1|?lnx?C，即lnu?1?Cx.
分离变量得，
5
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