难点14 数列综合应用问题
纵观近几年的高考,在解答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系,而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数,在实际问题中有着广泛的应用,如增长率,减薄率,银行信贷,浓度匹配,养老保险,圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外,还要善于观察题设的特征,联想有关数学知识和方法,迅速确定解题的方向,以提高解数列题的速度.
●难点磁场
t2t?2(★★★★★)已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值－ (t＞0),f(1)=0.
42(1)求y=f(x)的表达式；
(2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］为多项式,n∈N*),试用t表示an和bn；
(3)设圆Cn的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2,圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列,记Sn为前n个圆的面积之和,求rn、Sn.
●案例探究
［例1］从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游
1产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少,本年度当地旅游业收入
5估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增1加. 4(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式；
(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入？
命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力,本题有很强的区分度,属于应用题型,正是近几年高考的热点和重点题型,属★★★★★级题目.
知识依托：本题以函数思想为指导,以数列知识为工具,涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.
错解分析：(1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和,易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式,易出现偏差.
技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系,建立数量模型是本题的灵魂,(2)问中指数不等式采用了换元法,是解不等式常用的技巧.
1解：(1)第1年投入为800万元,第2年投入为800×(1－)万元,…第n年投入为800×
51－
(1－)n1万元,所以,n年内的总投入为
511n－1n1－
an=800+800×(1－)+…+800×(1－)=800×(1－)k1
555k?1?=4000×［1－(
4n)］ 5第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400×(1+400×(1+
1),…,第n年旅游业收入41n－1
)万元.所以,n年内的旅游业总收入为 411k－1n5－
bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)=400×()k1.
444k?1?5n
)－1］ 4(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,由此bn－an＞0,即：
5441600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0,令x=()n,代入上式得：5x2－7x+2＞0.解
455242此不等式,得x＜,或x＞1(舍去).即()n＜,由此得n≥5.
555∴至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入.
111［例2］已知Sn=1+?+…+,(n∈N*)设f(n)=S2n+1－Sn+1,试确定实数m的取值范围,
23n11使得对于一切大于1的自然数n,不等式：f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立.
20命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题,需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.
知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起,构思巧妙.
错解分析：本题学生很容易求f(n)的和,但由于无法求和,故对不等式难以处理.
技巧与方法：解决本题的关键是把f(n)(n∈N*)看作是n的函数,此时不等式的恒成立就
11转化为：函数f(n)的最小值大于［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2.
20111解：∵Sn=1+?+…+.(n∈N*)
23n=1600×［(
?f(n)?S2n?1?Sn?1?111????n?2n?32n?1111112又f(n?1)?f(n)??????
2n?22n?3n?22n?22n?32n?41111?(?)?(?)?02n?22n?42n?32n?4∴f(n+1)＞f(n)
∴f(n)是关于n的增函数
119 ??2?22?320∴要使一切大于1的自然数n,不等式
11f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立
20911只要＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2成立即可
2020∴f(n) min=f(2)=
?m?0,m?1由?得m＞1且m≠2 ?m?1?0,m?1?1此时设［logm(m－1)］2=t 则t＞0
11?9??t?于是?2020解得0＜t＜1
??t?0 由此得0＜［logm(m－1)］2＜1
1?5且m≠2. 2●锦囊妙计
1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题,应充分运用观察、归纳、猜想的手段,建立出有关等差(比)数列、递推数列模型,再综合其他相关知识来解决问题.
2.纵观近几年高考应用题看,解决一个应用题,重点过三关：
(1)事理关：需要读懂题意,明确问题的实际背景,即需要一定的阅读能力.
(2)文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言,用数学式子表达数学关系. (3)事理关：在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力,认定或构建相应的数学模型,完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后,要正确得到问题的解,还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.
●歼灭难点训练 一、选择题
1.(★★★★★)已知二次函数y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1,当a=1,2,…,n,…时,其抛物线在x轴
解得m＞
上截得的线段长依次为d1,d2,…,dn,…,则lim (d1+d2+…+dn)的值是( )
n??
A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题
2.(★★★★★)在直角坐标系中,O是坐标原点,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是第一象限的两个点,若1,x1,x2,4依次成等差数列,而1,y1,y2,8依次成等比数列,则△OP1P2的面积是_________.
3.(★★★★)从盛满a升酒精的容器里倒出b升,然后再用水加满,再倒出b升,再用水加满；这样倒了n次,则容器中有纯酒精_________升.
4.(★★★★★)据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元,比上年增长7.3%,”如果“十·五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元.
三、解答题
5.(★★★★★)已知数列{an}满足条件：a1=1,a2=r(r＞0),且{anan+1}是公比为q(q＞0)的等比数列,设bn=a2n－1+a2n(n=1,2,…).
(1)求出使不等式anan+1+an+1an+2＞an+2an+3(n∈N*)成立的q的取值范围；
(2)求bn和lim1,其中Sn=b1+b2+…+bn；
n??Sn
高考数学难点突破__数列综合应用问题
