相似矩阵与二次型考研试题
1.(2006年考研)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量?1???1,2,?1?,
T?2??0,?1,1?是线性方程组Ax?0的两个解， (Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ?Λ．
2.(2007年考研)设3阶对称矩阵A的特征值?1?1,?2?2,?3??2, ?1?(1,?1,1)T是
A的属于?1的一个特征向量,记B?A5?4A3?E其中E为3阶单位矩阵.
T(I) 验证?1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量． (II) 求矩阵B．
223.(2009年考研) 设二次型f(x1,x2,x3)?ax12?ax2?(a?1)x3?2x1x3?2x2x3，
(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值；
2(Ⅱ)若二次型f的规范型为y12?y2，求a的值．
4.(2010年考研) 已知二次型f(x1,x2,x3)?xTAx在正交变换x?Qy下的标准形为
2，且Q的第三列为(y12?y222T,0,)， 22(Ⅰ) 求矩阵A；
(Ⅱ) 证明A?E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．
?11???11????00?， 005.(2011年考研) 设A为3阶实对称矩阵，rankA?2，且A????????11????11??(Ⅰ)求A的所有特征值和特征向量； (Ⅱ)求矩阵A．
?1?06.(2012年考研) 已知A????1??0(Ⅰ)求实数a的值；
01?11??，二次型f?xT(ATA)x的秩为2， 0a??a?1?(Ⅱ)求正交变换x?Qy将f化为标准形．
7.(2013年考研) 设二次型f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)2?(b1x1?b2x2?b3x3)2，
?a1??b1??，???b?， a记???2???2????a3???b3??(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2??T???T；
2(Ⅱ)若?,?正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12?y2．
?11?118.(2014年考研)证明矩阵????111??0?01??与?????1??001?02??相似．
??0n??02?3??1?20??相似于B??0b0?， ?13?39.(2015年考研)设矩阵A?????????1?2a???031??（I） 求a,b的值；
（II）求可逆矩阵P，使得P?1AP为对角矩阵．
?0?11??， 2?3010.(2016年考研)已知矩阵A??????000??（I） 求A99；
（II）设三阶矩阵B?(α1,α2,α3)满足B2?BA，记B100?(β1,β2,β3)，将β1,β2,β3分别表示为α1,α2,α3的线性组合．
11.(2017年考研1)设三阶矩阵A?(?1,?2,?3)有三个不同的特征值， ?3??1?2?2，（I） 证明rankA?2；
（II）若???1??2??3，求方程组Ax??的通解．
22(2017年考研2) 设二次型f(x1,x2,x3)?2x12?x2?ax3?2x1x2?8x1x3?2x2x3在正
2交变换x?Qy下的标准形为?1y12??2y2，求a的值及一个正交变换矩阵Q．
12.(2018年考研)设实二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2?x3)2?(x2?x3)2?(x1?ax3)2，其中a为参数，
（I） 求f(x1,x2,x3)?0的解； （II）求f(x1,x2,x3)的规范型．
实对称矩阵对角化与实二次型标准化
