2014年考研数学模拟试题（数学一）
参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）
1.设f(x)在(??,??)内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（）. （A）sinf?(x)（B）
?x0sint?f(t)dt（C）?f(sint)dt（D）?[sint?f(t)]dt
00xx解 选择B. 由题设知，sint?f(t)为偶函数，故
?x0sint?f(t)dt为奇函数.
1?1?ex?,x?0,?12.设f(x)?? 则x?0是f(x)的（）.
x?1?e?x?0,?1,（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）第二类间断点（D）连续点
f(x)?lim?解 选择B. lim?x?0x?01?e1?e1x1x?1，limf(x)?lim??x?0x?01?e1?e1x1x??1，故x?0是f(x)的跳跃间断点.
3.若函数f(x)和g(x)在(??,??)内可导，且f(x)?g(x)，则必有（）. （A）f(?x)?g(?x) （B）f?(x)?g?(x) （C）limf(x)?limg(x) （D）
x?x0x?x0?x0f(t)dt??g(t)dt
0x解 选择C. 由函数f(x)和g(x)在(??,??)内可导知， f(x)和g(x)在(??,??)内连续，
x?x0limf(x)?f(x0)，limg(x)?g(x0)，而f(x0)?g(x0)，故limf(x)?limg(x).
x?x0x?x0x?x04.已知级数
?(?1)n?1?n?1an和?a2n分别收敛于a,b，则级数?an（）.【C】
n?1n?1??(A)不一定收敛 (B) 必收敛，和为2a?b (C)必收敛，和为a?2b (D) 必收敛，和为a?2b
?解 选择D. 由级数
?(?1)n?1n?1an收敛知，liman?0，
n??设
?(?1)n?1?n?1an，?a2n
n?1??an?1?n的前n项和分别为sn,Sn,?n，则limsn?a,limSn?b，
n??n???2k?a1?a2?L?a2k
?(a1?a2?a3?a4?L?a2k?1?a2k)?2(a2?a4?L?a2k)?s2k?2Sk，
故lim?2k?lim(s2k?2Sk)?a?2b，lim?2k?1?lim(?2k?a2k?1)?a?2b，
k??k??k??k??
所以lim?n?a?2b，级数
n???an?1?n收敛，和为a?2b.
?10?1???5.设矩阵A和B?020相似，则r(A)?r(A?2E)?（）.
????101???(A)3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
解 选择A. 矩阵A和B相似，则A?2E和B?2E相似， 故r(A)?r(A?2E)?r(B)?r(B?2E)?2?1?3.
6.设3阶方阵A的特征值是1,2,3，它们所对应的特征向量依次为?1,?2,?3，令P?(3?3,?1,2?2)，则PAP?（）.
?1?900??300?????（A）?010?（B）?010?
?004??002??????100??100?????（C）?020?（D）?040?
?003??009?????
?300?
??
解 因为3?3,?1,2?2分别为A的对应特征值3,1,2的特征向量，故P?1AP??010?.
?002???
7. 设随机变量X服从[?1,1]上的均匀分布，则X和Y?e?X（）.
（A）不相关 （B）相关 （C）独立 （D）相关且不独立 解 选择A. 经计算得，Cov(X,Y)?Cov(X,e?X)?E(Xe?X)?EXEe?X?0，?XY?0.
8. 设X1,L,Xn是取自正态总体N(0,1)一个简单随机样本，则下列结论中错误的是（）.
nXnX12~t(n?1)（D）n（A）nX~N(0,1)（B）(n?1)S~?(n?1)（C）~F(1,n) S?Xi222i?1解 选择D. 由一个正态总体的抽样分布知A，B，C都正确，X~?(1),212?Xi?1n2i~?2(n)，但是它们不独立，
不能推出
nX12?Xi?1n~F(1,n).
2i二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）
29.设函数f(x,y)具有连续偏导数，且f(x,2x?3x?4)?x，fx(1,3)?2，则fy(1,3)? .
2解 答案为?1. 方程f(x,2x?3x?4)?x两边对x求导，得
fx(x,2x2?3x?4)?fy(x,2x2?3x?4)?(4x?3)?1，
令x?1，得fx(1,3)?fy(1,3)?1，故fy(1,3)??1. 10.微分方程y??(e?1)y?1的通解为 .
?x解 答案为y?e(1?Ce). y?e?xe?x?x?x?x?(e?x?1)dx(e[?e??x?1)dxdx?C]
?x?ee2?x(?e?ee?xdx?C)?een?x(e?e?C)?ex(1?Cee).
?x11.设x??an?0?cosnx，则a2? .
解 答案为1. a2?12.设S为锥面z?2???0x2cos2xdx?1
x2?y2(0?z?1)外侧，则??y dydz? . S解 答案为0. S关于yoz面反向对称，y关于x为偶函数，故
??ydydz?0.
S13.设A为n阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组Ax?0的通解为 . *解 答案为k(1,1,L,1)，k为任意常数. 由题设知，r(A)?1，r(A)?n?1，n?r(A)?1且AA?AE?O，
T**
故A的列向量(1,1,L,1)是Ax?0的基础解系.
T14.设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0,1)，则P?max(X,Y)?0?? .解 答案为
3. 4P?max(X,Y)?0??1?P?max(X,Y)?0??1?P?X?0,Y?0? ?1?P?X?0?P?Y?0??1??2(0)?3. 4三、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （本题满分9分）设u?f(x,z)，而z?z(x,y)是由方程z?x?y?(z)所确定的隐函数，其中f具有连续偏导数，而?具有连续导数，求du.
解 取全微分du?fxdx?fzdz，dz?dx??(z)dy?y??(z)dz?dz?dx??(z)dy，
1?y??(z)故du?(fx?fzf?)dx?zdy.
1?y??1?y??16. （本题满分10分）
tn设f(x)在(??,??)上连续，且
?x0f(x?t)edt?cosx.
⑴求f(x)；⑵ 设an?f(0)，求级数1?an的和. ?n?12n?1?
2014年考研数学模拟试题(数学一)-2
