习题六
1.设总体X~N（60，15），从总体X中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.
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【解】μ=60,σ=15,n=100
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Z?X??~N(0,1)
?/n即 Z?X?60~N(0,1)
15/10P(|X?60|?3)?P(|Z|?30/15)?1?P(|Z|?2)
?2[1??(2)]?2(1?0.9772)?0.0456.
2.从正态总体N（，5）中抽取容量为n的样本，若要求其样本均值位于区间（,）内的概率不小于，则样本容量n至少取多大 【解】
2
Z?X?4~N(0,1)
5/nP(2.2?X?6.2)?P(2.2?4.26.2?4.2n?Z?n)
55 ?2?(0.4n)?1?0.95,
则Φn=，故n>,
即n>，所以n至少应取25
2
3.设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N（1000，σ）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S=100，试求P（X＞1062）. 【解】μ=1000,n=9，S=100
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t?X??X?1000?~t(8)
100/3S/nP(X?1062)?P(t?1062?1000)?P(t?1.86)?0.05
100/34.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差. 【解】Z?
X??~N(0,1)，由P(|X-μ|>4)=得
?/n
P|Z|>4(σ/n)=,
??410???410??0.02故2?1???,即????????????0.99.
????????查表得 410??2.33,
所以 ??410?5.43. 2.335.设总体X~N（μ，16），X1，X2，…，X10是来自总体X的一个容量为10的简单随
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机样本，S为其样本方差，且P（S＞a）=，求a之值.
9S29a??~?2(9),P(S2?a)?P??2?【解】????0.1. 1616??29a?14.684, 1614.684?16所以 a??26.105.
9查表得
6.设总体X服从标准正态分布，X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，试问统计量
5n2(?1)?Xi5i?1Y=
?Xi?6n，n＞5
2i服从何种分布 【解】?i?222?Xi?152i~?(5),?2??Xi2~X2(n?5)
22i?1n且?1与?2相互独立. 所以
X12/5Y?2~F(5,n?5)
X2/n?57.求总体X~N（20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于的概率.
【解】令X的容量为10的样本均值，Y为容量为15的样本均值,则
X~N(20,310), Y~N(20,
则X?Y~N?0,
3)，且X与Y相互独立. 15?33????N(0,0.5), ?1015?
那么Z?所以
X?Y~N(0,1), 0.50.3??P(|X?Y|?0.3)?P?|Z|???2[1??(0.424)]
0.5?? ?2(1?0.6628)?0.6744.
8.设总体X~N（0，σ）,X1,…,X10,…,X15为总体的一个样本.则
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X1?X2???X10Y= 服从 分布,参数为 . 2222X11?X12???X15222??【解】
Xi?~N(0,1),i=1,2,…,15.
102215?Xi??Xi?2222那么?1???~?(10),??2????~?(5)
i?1???i?11???且?1与?2相互独立, 所以
2X12??X10X12/10Y??2~F(10,5) 222(X11??X15)X2/522所以Y~F分布，参数为（10,5）.
9.设总体X~N（μ1,σ）,总体Y~N(μ2,σ),X1,X2,…,Xn1和Y1，Y2，…，Xn2分
2
2
别来自总体X和Y的简单随机样本，则
n2?n122???(Xi?X)??(Yj?Y)?j?1?= . E?i?1??n1?n2?2????1n11n222【解】令 S?(Xi?X),S2?(Yi?Y), ??n1?1i?1n2?1j?121则
?(Xi?1n1i2?X)?(n1?1)S,?(yj?y)2?(n2?1)S2,
221j?1n2又??那么
21(n1?1)S12?2~?(n1?1),??2222(n2?1)S2?2~?2(n2?1),
概率论与数理统计习题及答案----第6章习题详解
