式(2)求导一次得:
’+Al’=u’,Aθ’’’ A7θi528i+A6l2=v (18)
其中:A7=-(l1-w)sinθ1+l2sinθ2
A8= (l1-w)cosθ1-l2cosθ2 图4 解式(18)可得:
ωi=θi=(A6u’ -A5v’)/(-l2),l’2=(A7v’ -A8u’)/(-12) (19)
3) 加速度分析
’+Al’=E,Aθ’’ 对式(18)求导一次得:A7θi5228i+A6l2=F2 (20) ’2+2Al’θ’’’2-2Al’θ’其中:E2=u’+A8θi62i,F2=v-A7θi52i
’=(AE-AF)/(-l),l’=(AF-AE)/(-l) (21) 解式(20)可得:αi=θi62522272822
由上述式子可设计出 RPR杆组运动分析子程序(见程序单),在子程序中,以+m代替前面各式中出现的±计算符。 m称之为型参数,在设计主程序时,应根据各类Ⅱ级杆组不同的布置型式,确定m的取值(m可取+1,-1和0)。
5.PRP杆组运动分析子程序
图5所示PRPⅡ级杆组中,已知导路1,2两外接点P1,P2的运动,h1,h2分别为未知
’,运动点P3至导路1,2的垂直距离,导路1,2的方位角、角速度、角加速度(θ1,θ1’,θ,θ’,θ’)均已知,要求确定导路1,2移动的位移、速度及加速度(l,l,l’,θ1222121
l’2,l’1,l’2)以及P3点的运动(x3,x’3,x’3,y3,y’3,y’3)。
1) 位置分析
推导l1,及l2的方程式:
x1+l1cosθ1+h1sinθ1 = x2+l2cosθ2-h2sinθ2 y1+l1sinθ1-h1cosθ1 = y2+l2sinθ2+h2cosθ2
整理得:
l1cosθ1 - l2cosθ2 = E1
l1sinθ1 - l2sinθ2 = F1
(22)
其中:E1=u- A3h1-A4l2,F1=v+A1h1+A2h2,
A1=cosθ1,A2=cosθ2,A3=sinθ1,A4=sinθ2 。
由于θ1 ,θ2均已知,由此解得: l1 =(F1 cosθ2 - E1sinθ2) / D8
l2 =(F1 cosθ1 - E1sinθ1) / D8 (23) 其中:D8 = A2A3 - A1A4 = sin(θ1-θ2)
P3点的位置为:
x3 = x1 + l1cosθ1 + h1sinθ1
y3 = y1 + l1sinθ1 - h1cosθ1 (24) 2)速度分析
对式(22)求导一次,整理得:
l’1cosθ1 - l’2cosθ2 = E2 图5 l’1sinθ1 - l’2sinθ2 = F2 (25)
’– Aθ’’’– Aθ’
其中:E2 =u’ + A6θ1 82 ,F2 = v - A5θ1 72 ,A5 = l1cosθ1 + h1sinθ1 ,
A6 = l1sinθ1 - h1cosθ1 ,A7 = l2cosθ2 - h2sinθ2 ,A8 = l2sinθ2+ h2cosθ2 。
由(25)解得:
l’1=(F2 cosθ2 - E2sinθ2)/ D8
l’2=(F2 cosθ1 - E2sinθ1) / D8 (26)
P3点的速度为对式(24)求导得:
’
x’3 = x’1 + l’1cosθ1 + A6θ1
’y’3 = y’1 + l’1sinθ1 - A5θ1 (27)
3) 加速度分析
对式(25)求导一次,整理得: l’1cosθ1 - l’2cosθ2 = E3
l’1sinθ1 - l’2sinθ2 = F3 (28)
’+ Aθ’ 2 ’’’–Aθ’ 2 ’
其中:E3 = u’ + 2A3l’1θ1 51+ A6θ1–2A4l2θ272– A8θ2 , ’+ Aθ’ 2 ’’’–Aθ’ 2 ’ F3 = v’ - 2A1l’1θ1 61- A5θ1 +2A2l2θ282+ A7θ2 。
解(28)式得:
l’1=(F3 cosθ2 – E3sinθ2) / D8
l’2=(F3 cosθ1 – E3sinθ1) / D8 (29)
P3点的加速度为对式(27)求导得:
’- Aθ’ 2 ’ x’3 = x’1 + A1l’1 - 2A3l’1θ1 51- A6θ1
’- Aθ’ 2 ’ y’3 = y’1 + A3l’1 - 2A1l’1θ1 61- A5θ1 (30)
由上述式子可设计出 PRP杆组运动分析子程序(见程序单)。
6.RPP杆组运动分析子程序
图6所示RPPⅡ级杆组中,已知导路1参考点P1和外转动副P2的运动,h为外副P2
’,θ’)已知,导路1至导路2的垂直距离,导路1的方位角、角速度、角加速度(θ1,θ11
与导路2间的夹角为
。要求确定导路1,2移动的位移、速度及加速度(l1,l2,l’1,l’2,l’1,
l’2)以及导路中心P3,P4点的运动(x3,x4,x’3,x’4,x’3,x’4,y3,y4,y’3,y’4,y’3, y’4)。
1)位置分析
推导l1,及l2的方程式:
x1+l1cosθ1+l2cos(θ1+)= x2+hsin(θ1+) y1+l1sinθ1+l2sin(θ1+)= y2-hcos(θ1+)
整理得:
l1cosθ1 + l2cos(θ1+)= E1
l1sinθ1 + l2sin(θ1+)= F1 (31) 其中:E1 = u + A1h,F1 = v –A2h,
A1 =sin(θ1+),A2 =cos(θ1+)。 由于θ1 ,
均已知,由此解得:
l1 =(E1 sin(θ1+)- F1 cos(θ1+))/ D8 l2 =(F1 cosθ1 - E1sinθ1)/ D8 (32) 其中:D8 =A1A4-A2A3=sin
,A3 =sinθ1 ,A4 =cosθ1 图6
P3、P4点的位置为:
x3 = x1 + l1 cosθ1 ,y3 = y1 + l1 sinθ1
x4 = x2 + h sin(θ1+),y4 = y2 - hcos(θ1+) (33) 当给定P1、P2点的位置,杆长h的大小和导路的方向角θ1、 后,RPP杆组可能有两种形式,即图6中的实线和虚线两种形式,这可用h为“+”(实线机构)和h为“-”(虚线机构)来确定。
此外,从式(32)可以看出,为保证机构能够正常运动,两导路之间的夹角为0,再考虑到加工和装配等因素以及摩擦的存在,工程实际中,一般要求
2)速度分析
sin
不能 。
对式(31)求导一次,整理得: l’1cosθ1 + l’2cos(θ1+)= E2 l’1sinθ1 + l’2sin(θ1+
)= F2 (34)
其中:E2 =u’ +θ’1(A2h + A3l1 + A1l2),F2 = v’ -θ’
1(A1h - A4l1 - A2l2)
。 由式(34)解得:
l’1 =(E2 sin (θ1+)- F2 cos(θ1+))/ D8
l’2 =(F2 cosθ1- E2 sinθ1 ) / D8 (35)
P3、P4点的速度为对式(33)求导得:
x’3 = x’1 + A4l’1 – A3l1θ’1,y’3 = y’1 + A3l’1 + A4l1θ’
1
x’4 = x’2 + A2 hθ’1 ,y’4 = y’2 + A1 hθ’1
(36)
3) 加速度分析
对式(34)求导一次,整理得: l’1cosθ1 + l’2cosθ2 = E3
l’1sinθ1 + l’2sinθ2 = F3 其中:E3 = u’ +θ’1(A2h +A3l1 +A1l2)-θ’ 12(A1h -A4l1 - A2l2)+ 2θ’1(A3l’1 +A1l’2) F3 = v’ +θ’1(A1h -A4l1 -A2l2)+θ’ 12(A2h –A3l1 – A1l2)- 2θ’1(A4l’1 +A2l’2
) 解(37)式得:
l’1 =(E3 sin (θ1+)- F3 cos(θ1+))/ D8
l’2 =(F3 cosθ1 – E3sinθ1)/ D8 (38) P3、P4点的加速度为对式(36)求导得:
x’3 = x’1 + A4l’1 - A3l1θ’1 - 2A3l’1θ’1–A4l1θ’ 12
y’3 = y’1 + A3l’1 + A4l1θ’1 + 2A4l’1θ’1–A3l1θ’ 12
(37)
机械原理基本杆组分析法
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