得m?2?2??2?，且函数f(x)在?0,??,?,e?? e?m??m???2??2??和?,e?上的值域 m??m?由题意得g(x)在?0,e?上的值域包含于f(x)在?0,?23?2??f()?0?m???,e?，?m
e?1?m??f(e)?1?下面证t??0,??2?2?m?m时，，取，先证，即证2em?m?0 t?ef(t)?1e??m?m'x令w(x)?2e?x,?w(x)?2e?1?0,在?x?3?,???恒成立 ?e?1??w(x)?,?w(x)?w(3)?0,?2em?m?0 e?133?1,?m?e?1e?1
再证
f(e?m)?1,?f(e?m)?me?m?m?m?考点：函数的极值，函数的单调性，恒成立问题．
5.已知f(x)?aln(x?1),g(x)?x?bx,F(x)?f(x?1)?g(x),其中a,b?R.
2（1）若y?f(x)与y?g(x)的图像在交点(2,k)处的切线互相垂直,求a,b的值； （2）若x?2是函数F(x)的一个极值点,x0和1是F(x)的两个零点,且
x0?(n,n?1)，n?N*,求n的值；
（3）当b?a?2时,若x1,x2是F(x)的两个极值点,当x1?x2?1时,求证:F(x1)?F(x2)?3?4ln2.
1?a???【答案】（1）?2;（2）3;（3）详见解析..
??b??2【解析】
试题分析：（1）首先求出f?(x)??f(2)?g(2)a,g?(x)?2x?b，由题知?,x?1?f?(2)?g?(2)??1可
求
出
结
果
；（
2
）
求
出
即
?0?4?2b??a(4?b)??1 即
F(x)?f(x?1)?g(x)=alnx?(x2?bx),和F?(x)?a?2x?b，由题知x?a?F?(2)?0??4?b?0?(2x?3)(x?2)?,即 可得,所以；当F(x)?a?6b??1??2x?F(1)?0??1?b?0x?0,由F?(x)?0,解得0?x?2;由F?(x)?0,解得x?2可知F(x)在(0,2)上单调
递增,在(2,??)单调递减,故F(x)至多有两个零点,其中x1?(0,2),x2?(2,??)，又
F(2)>F(1)=0,F(3)=6（ln3-1）>0,F(4)=6（ln4-2）<0 ，∴x0∈（3,4）,即可
得到结果；（3）当b?a?2时,F?(x)?a?(2x?a)(x?1), ?2x?(a?2)?xx由题知F?(x)=0在（0,+∞）上有两个不同根x1,x2,则a<0且a≠-2,此时F?(x)=0的两根为?a,1, 2a?1 即可得到F(x)与F?(x)随x的变化情况表；又2极大值
当a?0,∴a<-4,此时?|F(x1)-F(x2)|=F(x)-F(x)极小值
；根据变化情况表可知
a1）+a2―1, 24a1a111设?(a)?aln(?)?a2?1,可得??(a)?ln(?)?a?1，???(a)??,即可得
2422a211到???(a)???0，可知??(a)在（―∞,―4）上是增函
a2|F(x1)-F(x2)|=F(x)极大值-F(x)极小值=aln(―数,??(a)
从而?(a)在（―∞,―4）上是减函数,∴?(a)>?(?4)=3?4ln2，即可求出结果. 试题解析：（1）f?(x)?a,g?(x)?2x?b x?11??f(2)?g(2)?0?4?2b?a??由题知?,即? 解得?2
?f?(2)?g?(2)??1?a(4?b)??1??b??2（2）F(x)?f(x?1)?g(x)=alnx?(x?bx),F?(x)?2a?2x?b x?a?F?(2)?0??4?b?0由题知?,即?2 解得a?6,b??1
?F(1)?0??1?b?0∴F(x)?6lnx?(x?x),F?(x)?26?(2x?3)(x?2) ?2x?1=
xx∵x?0,由F?(x)?0,解得0?x?2;由F?(x)?0,解得x?2 ∴F(x)在(0,2)上单调递增,在(2,??)单调递减,
故F(x)至多有两个零点,其中x1?(0,2),x2?(2,??)
又F(2)>F(1)=0,F(3)=6（ln3-1）>0,F(4)=6（ln4-2）<0 ，∴x0∈（3,4）,故n=3
（3）当b?a?2时,F(x)=alnx?[x?(a?2)x],
2F?(x)?a?(2x?a)(x?1), ?2x?(a?2)?xx由题知F?(x)=0在（0,+∞）上有两个不同根x1,x2,则a<0且a≠-2,此时F?(x)=0的两根为?a,1, 2a2a由题知|--1|>1,则+a+1>1,a2+4a>0
42又∵a<0,∴a<-4,此时-
a>1 2则F(x)与F?(x)随x的变化情况如下表: （0,1） - 1 0 极小值 （1, -+ a） 2-a 2（-- a,+∞） 2F?(x) F(x) 0 极大值 aa1）―F（1）=aln(―）+a2―1, 224a1a1设?(a)?aln(?)?a2?1,则??(a)?ln(?)?a?1
2422111111???(a)??,∵a??4,∴??,∴???(a)???0
a4a2a2∴|F(x1)-F(x2)|=F(x)极大值-F(x)极小值=F（-∴??(a)在（―∞,―4）上是增函数,??(a)?(?4)=3-4ln2 所以F(x1)?F(x2)?3?4ln2.
考点：1.函数的极值；2.导数在函数单调性中的应用；3.导数在求函数最值中的应用. 6.已知函数f(x)?x2?23ax(a?0),x?R 3（1）求f(x)的单调区间和极值；
（2）若对于任意的x1?(2,??)，都存在x2?(1,??)，使得f(x1)?f(x2)?1，求a的取值围
【答案】（1）所以f(x)的单调增区间是(0,)，单调减区间是(??,0)和(,??)，当
1a1ax?0时，f(x)取极小值0，当x?（2）[,]
11时，f(x)取极大值2； a3a3342【解析】
试题分析：对于第一问，注意应用导数，确定出函数的单调区间，进而得出函数的极值点，代入求得函数的极值，第二问注意应用集合间的关系，找到满足的条件，注意分类讨论．
??试题解析：（1）由已知有f(x)?2x?2ax(a?0).令f(x)?0，解得x?0或
2x?1a，列
表如下： x (??,0) 0 111(0,)(,??)a a a ? f?(x) ? 0 ? 0 f(x) ] 0 Z ] 13a2 所以f(x)的单调增区间是(0,)，单调减区间是(??,0)和(,??)，当x?0时，f(x)1a1a11时，f(x)取极大值2； a3a333（2）由f(0)?f()?0及（1）知，当x?(0,)时，f(x)?0，当x?(,??)2a2a2a取极小值0，当x?时
，
f(x)?0，设集合
A??f(x)|x?(2,??)?，集合
?1?则“对于任意的x1?(2,??)，都存在x2?(1,??)，B??|x?(1,??),f(x)?0?，
f(x)??使得f(x1)?f(x2)?1”等价于A?B，显然0?B， 下面分三种情况讨论：
333即0?a?时，由f()?0可知0?A而0?B，所以A不是B的子集； ?2，
2a42a333当1??2，即?a?时，有f(2)?0，此时f(x)在(2,??)上单调递减，故
2a42当
A?(??,f(2))，因而A?(??,0)，由f(1)?0有f(x)在(1,??)的取值围包含(??,0)，所以A?B；
当
133,0)，即a?时，有f(1)?0，此时f(x)在(1,??)上单调递减，B?(?1，
f(1)2a2A?(??,f(2))，所以A不是B的子集；
综上a的取值围为[,]．
考点：利用导数求单调区间及极值，利用导数求函数的值域．
3342
导数有关的可转化为最值的多元问题答案
