隧道效应及其应用

隧道效应及其应用

隧道效应定义是：隧道效应由微观粒子波动性所确定的量子效应，又称势垒贯穿。

1、势垒

在原子核衰变过程会放射出α粒子后变成另一种原子核。原子核表面有40 MeV的势能，核内α粒子的能量约为 4~9 MeV ,能量较小的α粒子怎么会穿过那么高的势垒从核内放射出来？利用量子力学理论能够给出很好的解释。

0?x?a?U0 U(x)?? ?0x?0,x?a 表示核内 x <0 和核外 x >0,可以自由运动，而核表面 0

2、反射和透射

就是求一个动量p和能量E已知的粒子受到势场U的作用后，被散射到各个方向去的几率。

在经典力学中,若粒子的能量 E

U 在量子力学中,无论粒子能量是大于还是小于都有一定的几率透过 势垒，也有一定的几率被反射。 U0

下面就两种情况进行讨论;

因为是定态问题，所以由定态薛定谔方程

III I II 22

O

（1） E?U0 ?2???2[???U(r)]?(r)?E?(r)

2m

在三个区间内波函数应遵从的薛定谔方程分别为：

2d2?1(x) ???E?1(x),x?02 2mdx ?2d2?(x)2? ?U0?2(x)?E?2(x),0?x?22mdx 22d?3(x) ??E3(x),x?a2 2mdx 令：

2mE2m(E?U0)22 k1?k?222

????[???U(r)]?(r)?E?(r)2maxa????

三个区间的薛定谔方程化

为：

若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波和反射波；粒 子从II区穿过势垒到III 区，在 II 区中同样有入射波和反射波， 在III区只有透射波。 221

112

UU0 d?(x)?k?(x)?0,dx I

2

22 222 223 132

ik1x?ik1x 1 ik2x?ik2x 2

ik1x?ik1x

3

上式分别代表三个平面波波函数。

其中 既有入射波又有反射波，? 3(x)只有透射波,C'=0。

1(x)、2(x)

根据边界条件： d?1(x)d?2(x)|x?0?|x?0 1 2

dxdx

d?3(x)d?2(x) 2|x?a?3dxdx

1122

d?(x)?k?(x)?0,dxx?0II III d?(x)?k?(x)?0,dx0?x?aoax?ax?(x)?Ae?(x)?Be?A?e,x?0?B?e,0?x?ax?a?(x)?Ce??C?e,??(0)??(0)?(a)??(a)|x?aA?A??B?B?Ak?A?k?Bk?B?k

Beik2a?B?e?ik2a?ceik1aBk2eik2a?B?k2e?ik2a?ck1eik1a 222i(k?k 12)sink2a?A?A?ik2aik2a22 (k1?k2)e?(k1?k2)e

2m(E?U0)为虚数 2 E?U0的情况 k2??2

2m(U0?E)2k2?ik3k? 令3则

?2

在E>U0情况下入射粒子的

∵透射系数： 反射系数： 2 A?22?3CR? 2D??22A ?1A

将 C , A , A' 代入得 224kk12 D?2222 (k1?k2)2sin2(k2a)?4k1k2

?ik1a 12 ?ik2a22ik2a1212

可见 ， ：

D 与R的和等于1，说明入射粒子一部 分反射，一部分透射，不会停留在势垒中。

22（2） (k1?k2)sin2(k2a)R?2222 (k1?k2)sin2(k2a)?4k1k2 222i(k?k12)sink2a A??A?ik2aik2a22(k1?k2)e?(k1?k2)e

?ik1a4kke12 C?A?ik2a22ik2a (k1?k2)e?(k1?k2)e4kkeC?(k?k)e?(k?k)eD?R?1A?1?D

可见

将 代入上式，

2 3 2m(E?U0)为虚数 2的情况 （2） Ek2? ?U02?

20 令 则 2332

k3a?k3a注意到双曲函

数 3

得 224kk13 D?2222 (k1?k3)2sh2(k3a)?4k1k3 222(k?k)sh(k3a)13 R?2222 (k1?k3)sh2(k3a)?4k1k3

隧道效应产生的原理： 2213

222222

13313

当粒子能量E＜U0时，其透射系数D不为零，即粒子

可以穿过势垒而到达势垒的另一侧，这种现象称为势垒贯穿 或隧道效应。隧道效应只在微观领域才有意义。

I

E??U当k3a??10

ek3a k3a?k3ash(k3a)? 2D?R?1k?ikk?ik2m(U?E)k??e?e2sh(ka)?U 4kkD?(k?k)sh(ka)?4kkU0II III e??e0

a 则 224k1k31? D?1k1k12222(k1?k3)2e2k3a?4k1k3(?3)e2k3a?1

416k3k1

U0?Ek1k3E又 ????E k 1 U E 且 0 3 k0 ?U??E

说明 k 1 ? k 3 ?? 1 k3k1 D? 1 1 ( k?De? 1 ? k2k3a 3 ) e 2 k 3 a 0 16k3k1

上式表明，透射系数 D 随势垒的高度U0和宽度 a的增大呈指数性衰减.如：当U0-E=1MeV时，势垒 的宽度为 a =10-5 nm时，透射系数 D = 10-4；若 a =10-4 nm 时，透射系数 D = 10-38 ，隧道效应 在实际上已经没有意义了，量子概念过渡到经典。

隧道效应对经典理论来讲是无法解释的。经典 理论认为，一个粒子的能量E < U 时，粒子是不能 穿过势垒的。因为E 是总能量，进入Ⅱ区E = Ek+ U， 要是E < U 则Ek < 0 ，这是经典理论所不允许的。 而量子力学认为，描述微观粒子的坐标和动量不

可能同时具有确定的值，势能和动能也不可能同时具 有确定的值，对于微观粒子来说总能量等于动能和势 能之和已不再有明确的意义。

二、隧道效应的应用前景 1、用途：

隧道二极管

半导体 隧道显微镜

D10? 16 1 ( k 1k32k ? )

3k1k2?2m(U0?E)3?2隧道效UU0I II III oax