小题专项训练8 立体几何
一、选择题
1．若直线a∥平面α，直线b∥直线a，点A∈b且A∈α，则b与α的位置关系是( ) A．b∩α＝A C．b∥α 【答案】B
【解析】由a∥α，b∥a?b∥α或b?α.又b过α内一点，故b?α.
2．(2019年陕西模拟)已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是m＝(2，－1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．P(2,3,3) C．P(－4,4,0) 【答案】A
→→→
【解析】记P(x，y，z)，则MP＝(x－1，y＋1，z－2)，当MP⊥α，即MP·m＝2(x－1)－(y＋1)＋2(z－2)＝0，即2x－y＋2z＝7时，点P(x，y，z)在平面α内，验证知只有A满足．故选A．
3．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β ”的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】B
【解析】由α⊥β，b⊥m，得b⊥α.又直线a在平面α内，所以a⊥b；但直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β ”的必要不充分条件．故选B．
4．(2019年江苏宿迁期末)如图，一个底面水平放置的倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水，水深为h.若在容器内放入一个半径为1的铁球后，水面所在的平面恰好经过铁球的球心O(水没有溢出)，则h的值为( )
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B．P(－2,0,1) D．P(3，－3,4) B．b?α
D．b∥α或b?α
2π
A．
9
3C．
2 3
B．2
3D．2
【答案】D
- 1 -
【解析】作OD⊥AC，垂足为D，则球的半径r＝OD＝1，此时OA＝2r＝2，倒圆锥的底面233
半径OC＝2tan 30°＝.放入小球之前，水深为h.，则底面半径为htan 30°＝h.由题
331?3?21?23?21433
意得π?h?h＝π?×2－×π×1，解得h＝2.故选D． ?3?3?3?3?23
5．如图，两个圆锥和一个圆柱分别有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上．若圆柱的侧面积等于两个圆锥的侧面积之和，且该球的表面积为16π，则圆柱的体积为( )
A．2π C．6π 【答案】C
【解析】设球的半径为R，则4πR＝16，解得R＝2.设圆锥的高O1A＝O2B＝x，底面圆半径O1C＝O2D＝y，则圆锥的母线长AC＝x＋y，圆柱的高为4－2x.由圆柱的侧面积等于两个圆锥的侧面积之和，得2πy(4－2x)＝2πyx＋y，则y＝3x－16x＋16.在Rt△OO1C中，可
??x＝4，得(2－x)＋y＝4，解得?
?y＝0?
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8π
B．
3D．8π
?x＝1，
(舍去)或?
?y＝3.
所以圆柱的体积为V＝πy(4－2x)
2
＝6π.故选C．
6．(2018年广东珠海一模)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AA1＝3，AB＝BC＝CD＝3，∠BCD＝120°，则直线A1B与B1C所成的角的余弦值为( )
7
A． 8
5
B． 8
- 2 -
C．
3
8
D．
6 8
【答案】A
【解析】以A为原点，在平面ABCD中，过点A的AD的垂线为x轴，AD为y轴，AA1为z3?3??333?→?3?3
轴建立空间直角坐标系，则A1(0,0,3)，B?，，0?，B1?，，3?，C?，，0?，A1B＝
?22??22??22?|A1B·B1C|3?3?→
θ＝?，，－3?，B1C＝(0，3，－3)．设直线A1B与B1C所成的角为θ，则cos
→→?22?|A1B||B1C|21
27
＝＝.故选A． 128
7．已知ABCD为空间四边形，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与( )
A．AC，BD之一垂直 C．AC，BD都不垂直 【答案】B
【解析】∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB.连接AN，CN，MN，则AN＝CN.在等腰△ANC中，∵M为AC的中点，∴MN⊥AC.同理可得MN⊥BD.故选B．
8．(2018年福建福州模拟)已知直线a，b异面，给出以下命题： ①一定存在平行于a的平面α使b⊥α； ②一定存在平行于a的平面α使b∥α； ③一定存在平行于a的平面α使b?α；
④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点． 则其中真命题的个数是( ) A．1 C．3 【答案】C
【解析】对于①，若存在平面α，使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，∴①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线
B．2 D．4
B．AC，BD都垂直 D．AC，BD不一定垂直
→
→
a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，∴②正确；对于③，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b?α，∴③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，∴④正确．综上，②③④正确．故选C．
9．已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，
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2020届高考数学二轮复习小题专项训练立体几何8理
