空间向量在立体几何中的应用
【重要知识】
一、求平面法向量的方法与步骤：
1、选向量：求平面的法向量时，要选取两个相交的向量，如AB,AC 2、设坐标：设平面法向量的坐标为n?(x,y,z)
??n?AB?03、解方程：联立方程组?，并解方程组
??n?AC?04、定结论：求出的法向量中三个坐标不是具体的数值，而是比例关系。设定某个坐标为常
数得到其他坐标
二、利用向量求空间角： 1、求异面直线所成的角：
设a,b为异面直线，点A,C为a上任意两点，点B,D为b上任意两点，a,b所成的角
为?，则cos??AC?BDAC?BD
【注】由于异面直线所成的角?的范围是：0????90?，因此cos??0 2、求直线与平面所成的角：
设直线l的方向向量为a，平面?的法向量为n，直线l与平面?所成的角为?，a与n所成的角为?，则sin??cos??a?na?n 【注】由于直线与平面所成的角?的范围是：0????90?，因此sin??0 3、求二面角：
设n1,n2分别为平面?,?的法向量，二面角??l??为?，则???n1,n2?或
???n1,n2?，其中cos?n1,n2??三、利用向量求空间距离： 1、求点到平面的距离
n1?n2n1?n2
设平面?的法向量为n，A??,B??，则点A到平面?的距离为AB?nn
2、求两条异面直线的距离
n是公垂线段AB的方向向量， 设l1,l2是两条异面直线，C,D分别为l1,l2上的任意两点，
则l1与l2的距离为AB?CD?nn
【重要题型】
1、（2012广东，理）如图所示，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，
PA?平面ABCD，点E在线段PC上，PC?平面BDE
（1）证明：BD?平面PAC
（2）若PA?1,AD?2，求二面角B?PC?A的正切值
2、（2013广东，理）如图①，在等腰三角形ABC中，?A?90?，BC?6，D,E分别是
AC,AB上的点，CD?BE?2，O为BC的中点。将?ADE沿DE折起，得到如图②
所示的四棱锥A??BCDE，其中A?O?（1）证明：A?O?平面BCDE
（2）求二面角A??CD?B的平面角的余弦值
3。
空间向量在立体几何中的应用(重点知识+高考真题+模拟精选)
