第二节 等差数列及其前n项和
[考纲传真] (教师用书独具)1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．
(对应学生用书第82页)
[基础知识填充]
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N＋，d为常数)． (2)等差中项：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，即A＝
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．
4．等差数列的前n项和公式与函数的关系
a＋b2
.
n(n－1)dn(a1＋an)
2
＝2
.
d?d?Sn＝n2＋?a1－?n.
2
?2?
5．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． [知识拓展] {an}为等差数列，Sn是{an}前n项和
(1)若an＝m，am＝n，则am＋n＝0， (2)若Sm＝n，Sn＝m，则Sm＋n＝－(m＋n)， (3)若Sm＝Sk(m≠k)，则Sm＋k＝0.
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.( ) (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( )
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．( ) (5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于( )
A．－1 C．2
B．1 D．－2
D [依题意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，故选D．] 3．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于( )
A．－1 C．1
B．0 D．6
B [由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，选B．]
4．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )
A．5 C．9
B．7 D．11
5(a1＋a5)A [a1＋a3＋a5＝3a3＝3?a3＝1，S5＝＝5a3＝5.]
2
5．(教材改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.
180 [由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.]
(对应学生用书第82页)
等差数列的基本运算 (1)(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( ) A．1 C．4
B．2 D．8
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________.
【导学号：79140171】
(1)C (2)－72 [(1)设{an}的公差为d，则
??a4＋a5＝24，由???S6＝48，
(a1＋3d)＋(a1＋4d)＝24，??得?6×5
6ad＝48，1＋?2?故选C．
解得d＝4.
(2)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
a12＝a1＋11d＝－8，??由已知，得?9×8
Sd＝－9，9＝9a1＋?2?
??a1＝3，
解得?
?d＝－1.?
16×15
所以S16＝16×3＋×(－1)＝－72.]
2 [规律方法] 解决等差数列运算问题的思想方法 1方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程组求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”. 2整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解. 3利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程. [跟踪训练] (1)(2017·云南省二次统一检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝( )
A．9 C．11
B．10 D．15
(2)《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，第1天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布，则第2天织布的尺数为( ) 161A． 2981C． 15(1)B
(2)A
161B． 3180D． 15
[(1)设等差数列{an}的公差为
d，依题意
11×(11－1)??S11＝11a1＋d＝22，
2?
??a4＝a1＋3d＝－12，
??a1＝－33，
解得?
??d＝7，
∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.
(2)由条件知该女子每天织布的尺数构成一个等差数列{an}，且a1＝5，S30＝390，设30×2916161
公差为d，则30×5＋×d＝390，解得d＝，则a2＝a1＋d＝，故选A．]
22929
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列． [解] (1)设{an}的公比为q.由题设可得
??a1(1＋q)＝2，
?2
?a1(1＋q＋q)＝－6.?
等差数列的判定与证明 (2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.
解得q＝－2，a1＝－2.
故{an}的通项公式为an＝(－2). (2)由(1)可得
n＋1
a1(1－qn)2n2Sn＝＝－＋(－1).
1－q33
n4n2由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)
3
n＋1
n＋3
－23
n＋2
2?n?2
＝2?－＋(－1)·?＝2Sn，
3??3故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列． 规律方法] 等差数列的四种判断方法 1定义法：an＋1－an＝dd是常数?{an}是等差数列.可用来判定与证明. 2等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2n∈N＋?{an}是等差数列.可用来判定与证明. 3通项公式：an＝pn＋q2p，q为常数?{an}是等差数列. A，B为常数?{an}是等差数列. 4前n项和公式：Sn＝An＋Bn1211[跟踪训练] (1)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N＋)，则该数列的通项
2an＋1anan＋2
为( ) 1
A．an＝ nB．an＝2 n＋1
C．an＝2 n＋2
3
D．an＝ n311
(2)已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N＋)，数列{bn}满足bn＝(n∈N
5an－1an－1
＋
)．
①求证：数列{bn}是等差数列． ②求数列{an}中的通项公式an. (1)A [由已知式1
2
an＋1anan＋2
?an?
11＝＋可得
an＋1anan＋2an＋1
1
＝n，即an＝.]
?1?1111111
－＝－，知??是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以
a1a2a1ann(2)①证明：因为an＝2－
1
an－1
(n≥2，n∈N＋)，
bn＝. an－1
所以n≥2时，bn－bn－1＝＝
11－ an－1an－1－1
1
11an－11
－＝－＝1.
?2－1?－1an－1－1an－1－1an－1－1??
?an－1?
又b1＝
15
＝－， a1－12
5
所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．
27
②由(1)知，bn＝n－，
212
则an＝1＋＝1＋.
bn2n－7
等差数列的性质及最值 (1)(2018·东北三省三校二联)等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝39，a5＋a7＋a9＝27，则数列{an}的前9项的和S9等于( ) A．66 C．144
B．99 D．297
(2)在等差数列{an}中，已知a1＝10，前n项和为Sn，若S9＝S12，则Sn取得最大值时，
n＝________，Sn的最大值为________.
【导学号：79140172】
(1)B (2)10或11 55 [(1)根据等差数列的性质知a1＋a3＋a5＝3a3＝39，可得a3＝13.9(a1＋a9)9(a3＋a7)
由a5＋a7＋a9＝3a7＝27，可得a7＝9，故S9＝＝＝99，故选B．
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高考数学一轮复习： 第5章 数列 第2节 等差数列及其前n项和学案 理 北师大版
