课时4 万有引力与航天
一、开普勒行星运动定律
第一定律:(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上。如图甲所示。
第二定律:(面积定律)对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。如图乙所示。
第三定律:(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。
a3即2=k。这里a是行星公转轨道半长轴,T是行星公转周期,k是常数,其大小只与中心天体的T质量有关。如图丙所示。
二、万有引力定律
1.内容:自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比,与它们之间距离r的二次方成反比。 2.公式:F=G
m1m2-1122
,其中G=6.67×10 N·m/kg。 2r3.适用条件:严格地说,公式只适用于质点间的相互作用,当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时,物体可视为质点。均匀的球体可视为质点,r是两球心间的距离。一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用,其中r为球心到质点间的距离。 4.万有引力定律的发现和相关物理学史
(1)德国天文学家开普勒提出天体运动的开普勒三大定律。
(2)牛顿总结了前人的科研成果,在此基础上,经过研究得出了万有引力定律。
(3)英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量(被称为能称量地球质量的第一人)。 三、宇宙速度 1.第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度又叫环绕速度。
GMmv2GMm推导过程为:由mg==2,得v== gR=7.9 km/s。
RRR(2)第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。
(3)第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度,也是人造地球卫星的最小发射速度。 2.第二宇宙速度(脱离速度):v2=11.2 km/s,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 3.第三宇宙速度(逃逸速度):v3=16.7 km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 四、经典力学的适用范围
只适用于低速运动,不适用于高速运动;只适用于宏观世界,不适用于微观世界。
考点一 开普勒行星运动定律
1.开普勒定律不仅适用于行星绕太阳转动,也适用于其他星体,如卫星绕地球转动。 2.通过第二定律可知,行星在近日点的速度大于在远日点的速度。 3.
a3=k中的k由中心天体决定,是一个与行星无关的常量,但不同的中心天体k一般不同。 T2a34.行星的运动轨迹一般是椭圆,为了分析方便,近似看做是圆,则2=k中的半长轴a即为圆半
T径。
[典例1] 关于太阳系中各行星的轨道,以下说法中正确的是( ) A.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 B.有的行星绕太阳运动的轨道是圆
C.不同行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴是相同的 D.不同的行星绕太阳运动的轨道都相同
解析:所有行星的轨道都是椭圆,A正确,B错误;不同行星离太阳远近不同,轨道不同,半长轴也就不同,C,D错误。 答案:A
变式1:已知地球和火星绕太阳公转的轨道半径分别为R1和R2(公转轨道近似为圆),如果把行星与太阳连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率,则地球和火星绕太阳公转过程中扫过的面积速率之比是( B ) A.
R1 R2B.R1R2 C.
R2 R1D.R2R1 R3R3?24π2k解析:根据开普勒第三定律有2=2=k,天体公转的角速度ω=,一定时间内扫过的面
T4πR3?R2?tR2?R2积S==,所以扫过的面积速率之比等于单位时间内的面积比112,代入角速度可得扫
22?2R2过的面积速率之比为R1R2。
考点二 万有引力定律
1.万有引力的方向沿两物体的连线方向。
2.对质量均匀的球体或球壳,在研究与球外物体的引力时,可视为质量集中在球心的质点而应用公式。
3.当两个物体间的距离远远大于物体本身大小时,公式也适用,两个不规则又相互靠近的物体间的万有引力不能直接用公式运算。
[典例2] 若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律,在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下,需要验证( ) A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的
1 6021 602B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的
C.在月球表面自由落体的加速度约为地球表面的 D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
1 6016解析:设月球质量为M月,地球质量为M,苹果质量为m,则月球受到的万有引力为 F月=G
M月M?60r?2,苹果受到的万有引力为F=G
Mm,由于月球质量和苹果质量之间的关系未知,故二r2者之间万有引力的关系无法确定,故选项A错误;根据牛顿第二定律有G整理可以得到a月=
M月M?60r?2=M月a月,G
Mm=ma,r2Mm?1a,故选项B正确;在月球表面处: G月2=m′g月,由于月球本身的半径260r月大小未知,故无法求出月球表面和地球表面重力加速度的关系,故选项C错误;苹果在月球表面受到的引力为F′=G
M月m,由于月球本身的半径大小未知,故无法求出苹果在月球表面受到的r月2引力与在地球表面受到的引力之间的关系,故选项D错误。 答案:B
变式2:行星绕太阳的运动可看做匀速圆周运动,则行星绕太阳运动的轨道半径R的三次方与周
R3期T的平方的比值为常量,即k=2,其中的常量k( D )
TA.与行星的质量有关
B.与行星绕太阳运动的轨道半径R有关 C.与行星绕太阳运动的周期T有关 D.只由太阳的质量决定
解析:由G
R3GMMm2π2GM=m()R,可得2=2,所以k=2,k值只和被围绕星球的质量有关,所以只
TRT4π4π有选项D正确。 考点三 万有引力的应用 1.万有引力与重力
(1)不考虑天体自转,对任何天体表面都可以认为mg=G
Mm2
,从而得出GM=gR(通常称为“黄金2R代换式”),其中M为该天体的质量,R为该天体的半径,g为相应天体表面的重力加速度。常运用GM=gR作为桥梁,可以把“地上”和“天上”联系起来。 (2)考虑自转时,星体表面赤道上的加速度g满足:Gg=0时,ω=MmGM22
-mg=mωR,得g=-ωR。特别是当22RR2
GM,这就是星体不解体的最大角速度。 R3(3)物体在距星体表面高度为h处的重力加速度g′满足: mg′=G
Mm?R?h?2,即g′=
GM?R?h?2=
R2?R?h?2g。
[典例3] 据报道,最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星,其质量约为地球质量的6.4倍。不考虑自转效应,该行星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的1.6倍,由此可推知,该行星的半径与地球半径之比约为( ) A.0.5 B.2.0 C.3.2 D.4.0 解析:在地球表面有mg=G在行星表面mg′=由题意知
M?=6.4 Mg?=1.6 gMm R2GM?m? R?2联立解得答案:B
R?=2.0,故B正确。 R变式3:离地面高度h处的重力加速度是地球表面重力加速度的,则离地高度h是地球半径的( D ) A.2倍 B.
C.2倍 D.(2-1)倍
解析:地球上物体的重力加速度由万有引力提供,即离地面高度h处的重力加速度由下式决
1212定,G
Mm?R?h?2mg1R2=,则有=,即得h=(2-1)R。 22?R?h?22.中心天体质量和密度的求解
(1)当天体绕着某中心天体做圆周运动时,中心天体对该天体的万有引力就是其做圆周运动所
4π2Mmmv22
需的向心力,据此即可列出方程G2==mrω=m2r,
Trr则中心天体的质量为M=
rv2r3?24π2r3
==; GGT2G3v2r3?2r33πr3MM中心天体的密度ρ=====。
434πR3G4πR3GGT2R3VπR33?23π(2)若卫星在天体表面附近运行时,可认为r=R,则天体密度ρ==2。可见,只要测出卫星
4πGGT环绕天体表面运动的角速度或周期密度。
T,就可估测出中心天体的
一般运动中的天体的周期、轨道半径r较容易测量,例如月球的周期已知为
4π2r327.3天,并知道地月距离就能根据M=计算出地球的质量。
GT2[典例4] 下列几组数据中能算出地球质量的是(引力常量G是已知的)( ) A.已知地球绕太阳运动的周期和地球中心离太阳中心的距离 B.已知月球绕地球运动的周期和地球的半径 C.已知月球绕地球运动的角速度和地球的半径 D.已知月球绕地球运动的周期和轨道半径
解析:已知地球绕太阳运动的周期和地球的轨道半径,只能求出太阳的质量,而不能求出地球的质量,所以选项A错误;已知月球绕地球运动的周期(或角速度)和地球的半径,而不知道月球
4π2Mm绕地球运动的轨道半径,不能求出地球的质量,选项B,C错误;由G2=mr2,可求得地球质
Tr4π2r3量为M=,所以选项D正确。
GT2答案:D
变式4:近年来,人类发射了多枚火星探测器,对火星进行科学探究,为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近火”匀速圆周运动,并测得该探测器运动的周期为T,则火星的平均密度ρ的表达式为(k是一个常数)( D ) A.ρ=
k B.ρ=kT T
2021版高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天课时4万有引力与航天学案新人教版
