高等数学教案 §9重积分
第九章 重积分
教学目的：
1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。 2. 掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。
3. 掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。
8会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、 引力等）。 教学重点：
1、 二重积分的计算（直角坐标、极坐标） ；
2、 三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。 3、 二、三重积分的几何应用及物理应用。 教学难点：
1、 利用极坐标计算二重积分； 2、 利用球坐标计算三重积分； 3、 物理应用中的引力问题。
§9 ,1二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
1 .曲顶柱体的体积
设有一立体.它的底是xOy面上的闭区域 D .它的侧面是以 D的边界曲线为准线而母 线平行于z轴的柱面.它的顶是曲面z=f（x.y）.这里f（x.y）_0且在D上连续，这种立体叫做 曲顶柱体，现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积
首先.用一组曲线网把 D分成n个小区域
1 . ? ：：；「2
?，：；「n .
分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 .作母线平行于 Z轴的柱面.这些柱面把原来的曲
顶柱体分为n个细曲顶柱体.在每个.'-i中任取一点（1 . i）.以f「i . i）为 高而底为厶G的平顶柱体的体积为
f（：宀）g（i= .2、….n ）,
这个平顶柱体体积之和
n
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V
八 f（ i, ip-i .
i 4
可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值 需取极限.即
n
，为求得曲顶柱体体积的精确值 .将分割加密.只
V =lim「f( i，ip-,. ?r0i 4
其中■是个小区域的直径中的最大值
2，平面薄片的质量，
设有一平面薄片占有 xOy面上的闭区域D .它在点(x y)处的面密度为 \.这里-(x . y) 0且在D上连续.现在要计算该薄片的质量
用一组曲线网把D分成n个小区域
1、厶二 2、
.
M
、'心n .
把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量
:「i . i)L-i .
各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值
n
：
：
M 汽 1-( i,■
i T
将分割加细.取极限.得到平面薄片的质量
n
M =lim ‘二：「( i, ip-i .
Q i t
其中'是个小区域的直径中的最大值 .
定义 设f(x y)是有界闭区域D上的有界函数?将闭区域D任意分成n个小闭区域
■'-7 1、匕匚2、 、匕匚n .
其中厶；-_i表示第i个小区域.也表示它的面积，在每个—-i上任取一点(i. J .作和
如果当各小闭区域的直径中的最大值 ■趋于零时.这和的极限总存在.则称此极限为函数
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f(x y)在闭区域D上的二重积分.记作！jf(x,y)d二.即
D n
f(x,y)d；「- lim ' f ( i, )
D
.
7丄
f(x y)被积函数.f(x y)d；z被积表达式.de面积元素x y积分变量 D积分区域.积分和
直角坐标系中的面积元素 ：
如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分 小闭区域外.其余的小闭区域都是矩形闭区域
D.那么除了包含边界点的一些
，设矩形闭区域厶门的边长为.凶和-：yk则
.Vri--：xi.\\yi .因此在直角坐标系中.有时也把面积元素 do记作dxdy .而把二重积分记作
f (x, y)dxdy
D
其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素 ，
二重积分的存在性：当f(x . y)在闭区域D上连续时.积分和的极限是存在的.也就是 说函数f(x y)在D上的二重积分必定存在 ，我们总假定函数f(x y)在闭区域D上连续.所以 f(x y)在D上的二重积分都是存在的 .
二重积分的几何意义：如果f(x.y)_0 .被积函数f(x y)可解释为曲顶柱体的在点 (x y)处 的竖坐标.所以二重积分的几何意义就是柱体的体积 ，如果f(x.y)是负的.柱体就在xOy 面的下方.二重积分的绝对值仍等于柱体的体积
.但二重积分的值是负的.
二.二重积分的性质 性质1设Ci、C2为常数.则
[Cif(x,y) C2g(x,y)]d；：「二Ci!」f(x, y)d二 c^ g(x, y)d^ .
D
D
D
性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域 .则在D上的二重积分等于 在各部分闭区域上的二重积分的和
，例如D分为两个闭区域 Di与D2 .则
M f (x,y)d；「= f (x,y)d ■亠 iif(x,y)d 二.
D
D1
D2
性质3 !!1
D
D
-厂(二为D的面积).
性质4如果在D上f(x y)_g(x y).则有不等式
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..f(x,y)dt..g(x,y)d —
D
D
特殊地有
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丨 f(x, y)dy |f (x,y)d 二.
D
D
性质5设M、m分别是f(x y)在闭区域D上的最大值和最小值.二为D的面积.则有 m；:「_ f
(x, y)d；:「_Mc .
D
性质6(二重积分的中值定理)设函数f(x y)在闭区域D上连续.二为D的面积.则在D 上至少存在一点C.)使得
f (x, y)d；丁 = f ( , )c .
D
§9,2二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
X --型区域
D :
S(x)_y_ 2(x) .a_xJD ,
Y —型区域
D ：： 'Tl(x)写 _ 2(x) 混合型区域：
设 f(x .y)_O. D-{(x y)| i(x)_y_ 2(x) .a_x_b},
此时二重积分..f (x, y)d；「在几何上表示以曲面 z-f(x . y)为顶.以区域D为底的曲顶
D
.
柱体的体积，
对于xo? [a. b].曲顶柱体在 x^xo的截面面积为以区间[r(xo).，2(xo)]为底、以曲线 zh(X0 y)为曲边的曲边梯形.所以这截面的面积为
A(x) = ￡(x°)f(x,y)dy、
根据平行截面面积为已知的立体体积的方法
.得曲顶柱体体积为
b
b ：2(x)
2 % )
V = aA(x)dx = a[ f (x y)dy]dx . f(x,y)dy]dx .
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同济第六版《高等数学》教案WORD版-第09章重积分
