函数与导数
10 函数 函数与方程
【考点讲解】
一、具体目标： 了解函数的零点与方程根的个数问题，函数的图象与x轴交点的横坐标之间的关系； 掌握二分法求方程的近似解；在高中本节主要是研究函数零点个数以及判断函数零点的范围. 考纲要求及重点：1.判断函数零点所在的区间 ；2.二分法求相应方程的近似解 ；
3. 备考重点：函数的零点与方程根的分布问题、函数的性质等相结合求解参数问题，更出现了和导数融合的综合性问题.
4.函数的零点、方程根的问题也是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题主要考查相应函数的图象与性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点方程根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法． 二、知识概述： 1.函数的零点： (1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数零点与方程根的关系
方程f (x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点.
2.零点存在性定理：如果函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)?0，那么，函数y?f(x)在区间（a，b）内有零点，即存在c?(a,b)，使得f(c)?0，这个c也就是方程f(x)?0的根.
3.“二分法”的基本内涵是：把函数f(x)的零点所在的区间[a，b]（满足f(a)·f(b)＜0） “一分为二”：[a，m]、[m，b]，根据“f(a)·f(m)＜0”是否成立，取出新的零点所在的区间仍记为[a，b]；将所得的区间 [a，b]重复上述的步骤，直到含零点的区间[a，b] “足够小”，使这个区间内的数作为方程的近似解满足给
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定的精确度d(即a?b?d)．
4.利用函数处理方程解的问题，方法如下：
(1)方程f(x)＝a在区间I上有解?a∈{y|y＝f(x)，x∈I}?y＝f(x)与y＝a的图象在区间I上有交点．
(2)方程f(x)＝a在区间I上有几个解?y＝f(x)与y＝a的图象在区间I上有几个交点．
一般地，在探究方程解的个数或已知解的个数求参数的范围时，常采用转化与化归的思想将问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合的方法给予直观解答． 5.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【真题分析】
1. 【2024年高考全国Ⅲ卷文数】函数f(x)?2sinx?sin2x在[0，2π]的零点个数为（ ） A．2
B．3 C．4
D．5
【解析】由f(x)?2sinx?sin2x?2sinx?2sinxcosx?2sinx(1?cosx)?0，得sinx?0或cosx?1，
Qx??0,2π?，?x?0、π或2π．?f(x)在?0,2π?的零点个数是3.故选B．
【答案】B
?2x,0?x?1,1?2．【2024年高考天津文数】已知函数f(x)??1若关于x的方程f(x)??x?a(a?R)恰
4x?1.?,?x有两个互异的实数解，则a的取值范围为（ ）
2
A．?,? B．?,? C．?,?U{1} D．?,?U{1}
44444444?59????59????59????59????2x,0?x?1,1?的图象，以及直线y??x，如图， 【解析】作出函数f(x)??14x?1?,?x
关于x的方程f(x)??11x?a(a?R)恰有两个互异的实数解，即为y?f(x)和y??x?a(a?R)的图44951 x，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得a?或a?，
444象有两个交点，平移直线y??考虑直线y??111x?a(a?R)与y?在x?1时相切，ax?x2?1，由??a2?1?0，解得a?1（?14x4?59???舍去），所以a的取值范围是?,?U?1?.故选D. 49【答案】D
?x,x?0?3.【2024年高考浙江】已知a,b?R，函数f(x)??131．若函数y?f(x)?ax?b 2x?(a?1)x?ax,x?0?2?3恰有3个零点，则（ ）
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
，则y＝f（x）﹣ax﹣b最
【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x
多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，
y??x2?(a?1)x，当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，
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2024年高考数学(理)函数与导数 专题10 函数与方程(解析版)
