全国硕士研究生入学考试数学二试题及解析
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全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线
x2?xy?2x?1渐进线的条数________
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
（2）设函数f(x)?(e则f?(0)?________ （A）(?1)n?1x?1)(e2x?2)L(enx?n)，其中n为正整数，
n?1(n?1)! （B）(?1)(n?1)! （C）(?1)nn!
（D）(?1)n!
n（3）设an?0(n?1,2,3L)n，Sn?a1?a2?a3?L?an，则数列{S}有
n界是数列{a}收敛的_______.
（A）充分必要条件 （B）充分非必要条件 （C）必要非充分条件 （D）非充分也非必要 （4）设I??esinxdx(k?1,2,3)，则有______
k?x2k0I?I（A）I?I?I
12132?I3I?I （B）
32?I1I?I （C）
23?I1 （D）
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（5）设函数f(x,y)为可微函数，且对任意的x,y都有?f(?xx,y)?0，?f(?xy,y)?0，则使不等式f(x,y)?f(x,y)成立
1122的一个充分条件是 （A）x?x，y12121?y21 （B）x?x，y121?y2 （C）x?x，y121?y2
（D）x?x，y
?y2
（6）设区域D由曲线y?sinx，x???，y?1围成，则25(x??y?1)dxdy?D（A）
? （B）2
?0???2??1???c??2??1???3???1???c??3???1???4??1???c??4?（C）?2 （D）?? （7）设
?0???1??0???c??1?，，，，其中c,c,c,c1234为任意常数，则线性相关的向量组为
（A）?,?,? （B）?,?,? （C）?,?,?
123124134（D）?,?,?
234（8）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且
?1???P?1AP??1??2???P?(?,?,?)，Q?(?，
1231??2,?2,?3)则Q?1AQ?（ ）
（A）
?100???020???001??? （B）
?100???010???002??? （C）
?200???010???002??? （D）
?200???020???001???
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二、填空题：9-14小题，每小题4分。请将答案写在答题纸指定位置上。 （9）设y?y(x)是由方程x则
d2ydx2?x?02?y?1?ey所确定的隐函数，
____________
2（10）limn(1?1nn???11?L?)?22?n2n2?n2____________
)，其中函数f(n)可微，则（11）设z?f(lnx?1yx?z?z?y2??x?y____________
2（12）微分方程ydx?(x?3y)dy?0满足条件y为____________ （13）曲线y?x____________
2x?1?1的解
?x(x?0)上曲率为22的点的坐标是
（14）设A为3阶矩阵，A?3，A为A的伴随矩阵，
*
若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则BA?____________
*三、解答题：15-23，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤。 （15）（本题满分10分）
?x1 已知函数f(x)?1?，记a?limf(x) sinxxx?0资料仅供参考
（Ⅰ）求a的值
（Ⅱ）若当x?0时，f(x)?a是x的同阶无穷小，求k 。
k（本题满分10分） （16）
求f(x,y)?xe的极值
?x2?y22（17）（本题满分12分）
过点(0,1)作曲线L:y?lnx的切线，切点为A，又切线与x轴交于B点，区域D由L与线段AB及x轴围成，求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
（18）（本题满分10分）
计算二重积分??xyd?，其中区域D为曲线
Dr?1?cos?(0????)与极轴围成
（19）（本题满分10分）
已知函数f(x)满足方程f??(x)?f?(x)?2f(x)?0及
f?(x)?f(x)?2ex，
2x2（Ⅰ）求f(x)的表示式；
（Ⅱ）求曲线y?f(x)?f(?t)dt的拐点。
0（20）（本题满分10分）
证明：。
1?xx2xln?cosx?1?,?1?x?11?x2
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