平面向量专题复习
一．向量有关概念：
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：
2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；
uuuruuurAB3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是?uuur)；
|AB|4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规
定零向量和任何向量平行。 提醒：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；
r③平行向量无传递性！（因为有0)；
uuuruuur AC共线； ④三点A、B、C共线?AB、6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。如 rrrr例1：（1）若a?b，则a?b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若
rrrruuuruuuruuuruuurAB?DC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则AB?DC。（5）若a?b,b?c，则
rrrrrrrr（6）若a//b,b//c，则a//c。其中正确的是_______ a?c。
二、向量的表示
1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；
3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，
rrr则平面内的任一向量a可表示为a?xi?yj??x,y?，称?x,y?为向量a的坐标，a＝?x,y?叫做向量a的
坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，
有且只有一对实数?1、?2，使a=?1e1＋?2e2。如
rrrr例2（1）若a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2)，则c?______
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
uruururuur A. e1?(0,0),e2?(1,?2) B. e1?(?1,2),e2?(5,7)
uruururuur13 C. e1?(3,5),e2?(6,10) D. e1?(2,?3),e2?(,?)
24rruuuruuuruuurruuurruuur（3）已知AD,BE分别是?ABC的边BC,AC上的中线,且AD?a,BE?b,则BC可用向量a,b表示为_____
（4）已知?ABC中，点D在BC边上，且CD?2DB，CD?rAB?sAC，则r?s的值是___
四．实数与向量的积：实数?与向量a的积是一个向量，记作?a，它的长度和方向规定如下：
???????????????rr?1??a??a,?2?当?>0时，?a的方向与a的方向相同，当?<0时，?a的方向与a的方向相反，
rr当?＝0时，?a?0，注意：?a≠0。
1
五．平面向量的数量积：
uuurruuurrabOA?a,OB?b，?AOB?? 1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作
?0?????称为向量a，b的夹角，当?＝0时，a，b同向，当?＝?时，a，b反向，当?＝
a，b垂直。
?时，2rr2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为?，我们把数量|a||b|cos?叫做arr与b的数量积（或内积或点积），记作：a?b，即a?b＝abcos?。规定：零向量与任一向量的数量
积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
r3．b在a上的投影为|b|cos?，它是一个实数，但不一定大于0。
r4．a?b的几何意义：数量积a?b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。
5．向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为?，则：
rrr2rrr2rr2②当a，b同向时，a?b＝ab，特别地，a?a?a?a,a?a；当a与b反向时，a?b＝
rrrrrr b不同向，a?b?0是?为锐角的必要非充分条件；当?为钝－ab；当?为锐角时，a?b＞0，且a、rrrr b不反向，a?b?0是?为钝角的必要非充分条件； 角时，a?b＜0，且a、rrrrrra?b③非零向量a，b夹角?的计算公式：cos??rr；④|a?b|?|a||b|。
ab例3如（1）△ABC中，|AB|?3，|AC|?4，|BC|?5，则AB?BC?_________
rrrurrrru1r1rr?（2）已知a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b，c与d的夹角为，则k等于____
422rrrrrr （3）已知a?2,b?5,agb??3，则a?b等于____
?????????rrrr①a?b?a?b?0；
rrrrrrrrr（4）已知a,b是两个非零向量，且a?b?a?b，则a与a?b的夹角为____
??例4已知|a|?3，|b|?5，且a?b?12，则向量a在向量b上的投影为______
例5（1）已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是______
??????13（2）已知?OFQ的面积为S，且OF?FQ?1，若?S?，则OF,FQ夹角?的取值范围是 。
22??????????????
六．向量的运算：
1．几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之
uuuruuurruuurrrr外，向量加法还可利用“三角形法则”：设AB?a,BC?b，那么向量AC叫做a与b的和，即rruuuruuuruuura?b?AB?BC?AC；
uuurruuurrrruuuruuuruuur②向量的减法：用“三角形法则”：设AB?a,AC?b,那么a?b?AB?AC?CA，由减向量的终
点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
rr2．坐标运算：设a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则：
rr①向量的加减法运算：a?b?(x1?x2，y1?y2)。
r②实数与向量的积：?a???x1,y1????x1,?y1?。
2
uuur③若A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB??x2?x1,y2?y1?，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线
段的终点坐标减去起点坐标。
rr④平面向量数量积：a?b?x1x2?y1y2。如
已知向量a＝（sinx，cosx）, b＝（sinx，sinx）, c＝（－1，0）。（1）若x＝
?，求向量a、c3的夹角；（2）若x∈[?3??1,]，函数f(x)??a?b的最大值为，求?的值
284rrr2⑤向量的模：|a|?x2?y2,a?|a|2?x2?y2。
22⑥两点间的距离：若A?x1,y1?,B?x2,y2?，则|AB|??x2?x1???y2?y1?。
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur例6：①AB?BC?CD?___；②AB?AD?DC?____；③(AB?CD)?(AC?BD)?_____
uuuruuuruuur例7（1）已知点A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若AP?AB??AC(??R)，则当?＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上
r1uuu??,)，则x?y?
222ruuuruuur1uuuruuu例8设A(2,3),B(?1,5)，且AC?AB，AD?3AB，则C、D的坐标分别是__________
3uurrrro例9已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a?3b|＝_____
七．向量的运算律：
（2）已知A(2,3),B(1,4),且AB?(sinx,cosy)，x,y?(?rrrrrrrrrr1．交换律：a?b?b?a，??a?????a，a?b?b?a；
rrrrrrrrrrrrrrrrrr2．结合律：a?b?c?a?b?c,a?b?c?a?b?c，?a?b??a?b?a??b；
rrrrrrrrrrrrrr3．分配律：?????a??a??a,?a?b??a??b，a?b?c?a?c?b?c。
????????????????2例10下列命题中：① a?(b?c)?a?b?a?c；② a?(b?c)?(a?b)?c；③ (a?b)?|a|
rrrrr?????rrrr??rr22a?bb?2|a|?|b|?|b|2；④ 若a?b?0，则a?0或b?0；⑤若a?b?c?b,则a?c；⑥a?a；⑦r2?r；
aa⑧(a?b)2?a?b；⑨(a?b)2?a?2a?b?b。其中正确的是______
提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即a(b?c)?(a?b)c，为什么？
rrrrrrrr八．向量平行(共线)的充要条件：a//b?a??b?(a?b)2?(|a||b|)2?x1y2?y1x2＝0。
????????????????2rrr2r2rrr2rrr2rrrr例11(1)若向量a?(x,1),b?(4,x)，当x＝_____时a与b共线且方向相同
rrrrrrrrrr（2）已知a?(1,1),b?(4,x)，u?a?2b，v?2a?b，且u//v，则x＝______ uuuruuuruuur（3）设PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k)，则k＝_____时，A,B,C共线
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高中数学平面向量专题复习(含例题练习)
