2007年第24届全国中学生物理竞赛复赛
?y?D??s lD? d（附4）
2．在线光源情况下，可以导出双缝干涉的相邻两亮纹的间距为
?y?（附5）
?s值不同对应着扩展光源中不同位置的线光源．不难证明，它们经双缝产生干涉条纹
的间距?y均如（5）式所示．宽度为w的扩展光源是由一系列?s值不同的、连续分布的、相互独立的线光源构成．因此扩展光源在观察屏上产生的干涉图像的强度是由每个线光源产生干涉条纹的强度相加而成．当扩展光源宽度为w时，对于光源最边缘点有
代入（4）式 若
?s?w
Dl（附6）
?y?w （附7）
?y??y
（附8）
则相当于扩展光源最边缘的线光源产生的干涉条纹错开了一个条纹间距．由于扩展光源各部分产生的干涉条纹的光强分布都相同，各套干涉条纹强度相加的结果使屏上各处光强相等，变得一片模糊而无法分辨．由（5）式和（7）式，求得为使条纹能被分辨，扩展光源允许的最大宽度
3． 解法一
如图2所示，aa?是由扩展光源上端边缘发出的平行光，bb?是由扩展光源下端边缘发出的平行光．设ab光线交于M1点，a?b?光线交于M2点．aa?光束中的光线a经过M1M3S1P到达观察屏上P点；光线a?经过M2M4S2P到达观察屏上P点，两相干光波产生干涉，在观察屏上产生一套干涉条纹．同理，平行光束bb?在观察屏上产生另一套干涉条纹．从扩展光源不同部位发出的、倾角在
0和?之间不同角度入射的平行光束，经迈克尔逊测星仪相应的反射镜走过不同路径到双孔，然后在观察屏上产生很多套干涉条纹．这些干涉条纹光强度彼此相加，屏幕上就形成了光强度的分布图像．根据第2问的结果，其清晰度取决于来自扩展光源上下边缘发出的平行光aa?与bb?分别在屏幕上产生两套干涉条纹的相对位置错开的程度．
由对称性考虑，平行光束aa?中两条光线a和a?在观察屏上P0的光程差为0，即平行光
h w?l? da b（附9）
M1 H 双孔屏 ? 观察屏 S1 d S2 yP
M3M4 P0a? b??
M2图2 aa?产生的那套干涉条纹的零级亮纹就在P0处．现讨论以倾角?斜入射的平行光束bb?通过
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整个光学装置后，在观察屏上某点发生干涉时的光程差．光束bb?中的光线b入射M1的光线经M3反射到达S1，光线b从M1点算起，所经光程为M1M3?M3S1；光线b?入射M2的光线经M4反射到达S2，光线b?从M2点算起，所经光程为M2M4?M4S2．由对称性可得
M1M3?M3S1?M2M4?M4S2
也就是说从M1和M2算起，光线b和b?到达S1与S2的光程是相等的，但是光线b和b?在到达M1和M2时，二者的相位却不同．由M2作斜入射光线bM1的垂线交H点，M2与H相位相等，因此，斜入射的两条平行光线b和b?到达S1 和S2时的相位差是光程差HM1引起的
??1??M2M4S2???HM1M3S1???HM1??h? 从扩展光源下边缘发出的平行光束斜入射到测星干涉仪，经双孔后发出的相干光在观察屏上坐标为y（坐标原点取在P0上）的P点上引起的光程差
??????d11??h??Dy 其零级亮纹所在位置P0?对应的光程差??0，故P0?的坐标
y?D0?h??d 这也就是平行光aa?与bb?产生的干涉条纹的零级亮纹（也是两套条纹）错开的距离
?y?h??Dd 因在线光源情况下，可以导出双孔干涉的相邻两亮纹的间距为 ?y?Dd? （6）
当二者错开一个条纹间隔时，即?y??y，代入（6）式（星光波长采用?），得
???h 远处的星体作为扩展光源发出的光经过“测星仪”到达双孔，在屏上观察到干涉条纹的清晰度下降，由小到大调节M1、M2距离h，当屏幕上条纹消失时，记下此时h的值代入（7）式就可确定扩展光源角直径?的大小．
注：实际星体都看作均匀亮度的圆形扩展光源，通过调节h使屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等时，通过数学计算，用迈克尔逊测星仪测量得的星体角直径??1.22?h．
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（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（7）
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解法二
如图3所示，对M1、M3而言，找出S1对M3的中间像S1??和对M1所成的像S1?以及光线a在M1、M3的反射点F和G．由物像的对称性可知GS1?GS1??，FS1??FS1??，故
FS1??FG?GS1
即从光线a上一点到S1?和到S1的光程相等．同理可证，从光线b上一点到S1?和到S1的光程
相等；对M2、M4（未画出）而言，从光线a?上一点到S?2和到S2的光程相等；从光线b?上一点到S?2和到S2的光程相等． ??lbHS1? a M1 bS1? b ?F ? Mh 3 G S1 S1?? 图3
图4
b??S?2因此，光线a 到S1处与光线a?到S2处引起的光程差?la与没有反射镜M1、M2时两光线到S1?、
S?2处的光程相等．因a、a?垂直双孔屏，故 ?la?0 通过双孔S1、S2后，光线a、a?在P0的光程差
?la??0 平行光束bb?斜入射时，可从S1?、S?2处求b、b?两光线到达S1、S2处的光程差?lb．由S?2作bS1?的垂线S?2H（见图4），
?lb?HS1??hsin??h?
说明光线b?超前于光线b． P0?
b S1 y?0 d ? b? a ? Pa? 0
S2 ?lb?
图5
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1）2）3）（ （
（
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通过双孔S1、S2后光线b、b?射出的相干光线在屏幕上形成的零级亮纹不可能位于P0处，因为二者到达双孔前光线b?已超前了光线b，如图5所示，光线b?经过S2孔后要多走一段光程来抵消前面的相位差，以达到与光线b在没有光程差的情况下相交于远方屏幕上，形成干涉零级亮纹．该点所对应的b?经过S2孔后多走的光程
?lb??S2P0??S1P0??dsin??d? 从?lb??lb?可求得平行光束bb?经双孔后在观察屏上的干涉零级条纹位置P0?．由（3）式和（4）式，得
??hd?
P0?的位置坐标
y?0?Dtan??D? 由小到大调节反射镜M1、M2之间的距离（也就是S1?、S?2之间的距离）h，直到屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等时，记下此时h的值.这时相干光bb?在屏幕上零级亮纹位置P0?与P0的距离
P0P0??y?0?0??y?D? 当P0P0?等于条纹间隔?y，即
P0P0??Dd? 代入（7）式得
???d 由（5）、（9）两式，得 ???h
解法三
根据第2问的结果，为使条纹能被分辨，扩展光源的允许宽度为w?ld?，从而扩展光源对双缝中心的张角为
???w?l?d
（1）
如图3所示，对M1、M3而言，找出S和对M'1对M3的中间像S1??1所成的像S1以及光线a在M1、M3的反射点F和G．由物像的对称性可知GS1?GS1??，FS1??FS1??，故
FS1??FG?GS1
即从光线a上一点到S1?和到S1的光程相等．同理可证，从光线b上一点到S1?和到S1的光程
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（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9） 10）
（
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相等；对M2、M4（未画出）而言，从光线a?上一点到S?2和到S2的光程相等；从光线b?上一点到S?2和到S2的光程相等．从分析可知，S1?为S1经M3、M1反射的等效像点，S2?为S2经M4、M2反射的等效像点，从而可将测星干涉看作是经双孔S1?、S?2的等效杨氏双缝干涉，其缝距为
S1?S2??h 由小到大调节反射镜M1、M2之间的距离（也就是S1?、S?2之间的距离）h，直到屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等，这时只需将测得的h直接替换（1）式中的d，可得计算星体角直径的公式
???h 得到与前两种解法相同的结果．
七、参考解答：
根据题意，7Be核和K层电子的动量都为零，在第一个反应中，若用p?Li*表示激发态锂核
?7Li??的动量，p?η表示中微子η的动量，则由动量守恒定律有
?p???Lip??0 即激发态锂核的动量与中微子的动量大小相等，方向相反.在第二个反应中，若用?pLi表示
反冲锂核7Li的动量，?p?表示光子的动量，则由动量守恒定律有
?p????pLi?pγ
Li
（2）
由（1）、（2）式得
?p????p?Liγ?p??
（3）
当锂核的反冲动量pLi最大时，其反冲能量也最大. 由（3）式可知，当中微子的动量与γ光子的动量同方向时，锂核的反冲动量最大.注意到γ光子的动量 ph?γ?c
（4）
有
ph?Li?pη?c
（5） 由于锂核的反冲能量比锂核的静能小得多，锂核的动能与其动量的关系不必用相对论关系表示，这时有
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（2）
（3）
（1）
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2pLi ER?2m
Li
（6）
由（5）、（6）式得
pηc?2mLic2ER?h? 代入有关数据得
pη?0.38MeV/c
用Eη表示中微子的能量，根据相对论有
E2c2?p22η?mηηc 根据能量守恒定律有 m2Bec?mec2?m2Lic?ER?h??Eη
由（9）、（10）式得
1 m2ηc?????m2Bec?m2ec?m2Lic?ER?h??2?p?2ηc?2?? 由（8）式和已知数据得
mη?0.00MeV/c2
由（12）式可知，所算出的中微子静止质量的数值在题给数据的误差范围之内，故不能确定中微子的静止质量．如果有，其质量一定小于0.1MeV/c2．
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（7）
（8）
（9）
10）
11）
12）
（（（
2007年第24届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考解答（word版）
