2007年第24届全国中学生物理竞赛复赛
?d2y??d2x? tan???CC?dt2????dt2???1.4 所以求得
??arctan1.4?54.46?
这个夹角在第三象限，为234.46?，故aC与CD的夹角
?=80.54?
三、参考解答：
1．设a室中原有气体为?mol，打开K1后，有一部分空气进入a室，直到K1关闭时，a室中气体增加到??mol，设a室中增加的??????mol气体在进入容器前的体积为?V，气体进入a室的过程中，大气对这部分气体所作的功为
A?p0?V
用T 表示K1关闭后a室中气体达到平衡时的温度，则a室中气体内能增加量为
?U???CV?T?T0?
由热力学第一定律可知
?U?A 由理想气体状态方程，有
45p0V0??RT0 p0?V???????RT0
p0V0???RT
由以上各式解出
T?5?CV?R?5CV?4RT0
2．K2打开后，a室中的气体向b室自由膨胀，因系统绝热又无外界做功，气体内能不变，所以温度不变（仍为T），而体积增大为原来的2倍．由状态方程知，气体压强变为
p?12p0
关闭K2，两室中的气体状态相同，即
p?T?1a?pb?p，Tab?T，Va?Vb?V0，且?a?b?2??
拔掉销钉后，缓慢推动活塞B，压缩气体的过程为绝热过程，达到最终状态时，设两室气体
的压强、体积和温度分别为p?a、pb?、Va?、Vb?、Ta?、Tb?，则有 - 11 -
（13）
（14）
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）
2007年第24届全国中学生物理竞赛复赛
由于隔板与容器内壁无摩擦，故有
由理想气体状态方程，则有 因
由（8）～（15）式可得
paVapbVbCV?RCV?Va??pa?Vb??pbCV?RCV
（10） （11）
CV?RCVCV?RCV??pb? pa（12）
?Va???aRTa? pa?Vb???bRTb? pb（13） （14）
Va??Vb??V0
（15）
1Va??Vb??V0
2（16） （17）
Ta??Tb??2T
在推动活塞压缩气体这一绝热过程中，隔板对a室气体作的功W等于a室中气体内能
RCV的增加，即
由（6）、（17）和（18）式得
四、参考解答：
设某一时刻线框在磁场区域的深度为x?x?l1?，速度为v，因线框的一条边切割磁感应线产生的感应电动势为
y R?CV?CVW??2?1?p0V0
?2R???1W???CV?Ta??T?
2（18）
（19）
l1v0Ev?vBl2，它在线框中引起感应电流，感应电流的变化又
引起自感电动势．设线框的电动势和电流的正方向均为顺时针方向，则切割磁感应线产生的电动势Ev与设定的正方向相反，自感电动势EL??Ll2?i与设定的正方向相同.因线?t- 12 -
x O x 2007年第24届全国中学生物理竞赛复赛
框处于超导状态，电阻R?0，故有
即 EL?Ev??L?i?vBl2?iR?0 ?t（2）
L?i?x?Bl2?0 ?t?t或 Bl2?x??L?i
即
?i?x??Bl2L 可见i与x成线性关系，有
i??Bl2Lx?C
C为一待定常数，注意到x?0时，i?0，可得C?0，故有
i??Bl2Lx
x?0时i?0，电流为负值表示线框中电流的方向与设定的正方向相反，即在线框进入磁场
区域时右侧边的电流实际流向是向上的．外磁场作用于线框的安培力 f?BlB2l2
22i??Lx
其大小与线框位移x成正比，方向与位移x相反，具有“弹性力”的性质．下面分两种情形做进一步分析：
（i）线框的初速度v0较小，在安培力的作用下，当它的速度减为0时，整个线框未全部进入磁场区，这时在安培力的继续作用下，线框将反向运动，最后退出磁场区．线框一进一出的运动是一个简谐振动的半个周期内的运动，振动的圆频率
??B2l22Lm 周期
T?2πLmB2l2 2振动的振幅可由能量关系求得，令xm表示线框速度减为0时进入磁场区的深度，这时线框的初始动能全部转换为“弹性力”的“弹性势能”，由能量守恒可得
2 1221?B?22mvl20?2??x?L?m 得
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（3）
（4）
5） （6） （7）
（8） （9）
10）
（
（2007年第24届全国中学生物理竞赛复赛
xLmv20m?B2l2 2故其运动方程为
x?v0Lm?Bl2LmBlsin?t??， t从0到π2?Lm?Bl 2半个周期后，线框退出磁场区，将以速度v0向左匀速运动．因为在这种情况下xm的最大值是l1，即
12mv21B2l2220?2Ll1 由此可知，发生第（i）种情况时，v0的值要满足下式
11?2mvB2l222?20?2??L??l1
即 v0?Bl1l2mL
(ii) 若线框的初速度v0比较大，整个线框能全部进入磁场区．当线框刚进入磁场区时，其速度仍大于0，这要求v0满足下式
v10?Bl2lmL 当线框的初速度满足（15）式时，线框能全部进入磁场区，在全部进入磁场区域以前，线框的运动方程与（12）式相同，但位移区间是x?0到x?l1，所以时间间隔与（12）式不同，而是从0到
t?Lm?Bl1l2?1Bl?arcsin? 2??Lmv20??因为线框的总电动势总是为0，所以一旦线框全部进入磁场区域，线框的两条边都切割磁感应线，所产生的电动势之和为 0，因而自感电动势也为0．此后线框中维持有最大的电流im??Bl2Ll1，磁场对线框两条边的安培力的合力等于零，线框将在磁场区域匀速前进，运动的速度可由下式决定
1122mv2v2?1Bl20?m2Ll2221 即
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（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
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五、参考解答：
2B2l12l2 v?v?Lm20（17）
解法一：
1.由于等离子层的厚度远小于地球的半径，故在所考察的等离子区域内的引力场和磁场都可视为匀强场.在该区域内磁场的磁感应强度
3.0?10?R?T?2.4?10-7T B??0?B0?125?r?引力加速度
3?5（1）
9.8?R?g??0?g0?m/s2?0.39m/s2
25?r?考察等离子层中的某一质量为m、电荷量为q、初速度为u的粒子，取粒子所在处为坐标原点O，作一直角坐标系Oxyz，Ox轴指向地球中心，Oz沿磁场方向，如图1所示.该粒子的初速度在坐标系中的三个分量分别为ux、
uz v0 ux x
图1 2（2）
z uy和uz.因作用于粒子的引力沿x轴正方向，作用于粒子
的洛伦兹力与z轴垂直，故粒子在z轴方向不受力作用，沿z轴的分速度保持不变. 现设想在开始时刻，附加给粒子一沿y轴正方向大小为v0的速度，同时附加给粒子一沿y轴负方向大小为v0的速度，要求与其中一个v0相联系的洛伦兹力正好与粒子所受的地球引力相平衡，即 得
v0?
qv0B?mg
O uy v0 uy?v0 v y
mgqB（3）
用v表示ux与沿y轴的速度uy?v0的合速度（对质子取正号，对电子取负号），有
2 v?ux?uy?v0??2
这样，所考察的粒子的速度可分为三部分： 子层中粒子的无规则运动的速度分量．
（4）
沿z轴的分速度uz．其大小和方向都保持不变，但对不同的粒子是不同的，属于等离沿y轴的速度v0．对带正电的粒子，速度的方向沿y轴的负方向，对带负电的粒子，
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2007年第24届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考解答（word版）
