2007年第24届全国中学生物理竞赛复赛
第24届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答
一、参考解答：
B 如果小球的水平速度比较大，它与平板的第一次碰撞正好发生在平板的边缘Q处，这时u0的值便是满足题中条件的最大值；如果小球的水平速度u0较小，在它与平板发生第一次碰撞后再次接近平板时，刚好从平板的边缘Q处越过而不与平板接触，这时
h u0 u0的值便是满足题中条件的最小值．
设小球从台面水平抛出到与平板发生第一次碰撞经历的时间为t1，有
P Q h?若碰撞正好发生在Q处，则有
12gt1 （1） 2L?u0t1
（2）
从（1）、（2）两式解得的u0值便是满足题中条件的最大值，即
代入有关数据得
u0max?Lg 2h（3）
u0max?0.71m/s
（4）
如果u0?u0max，小球与平板的碰撞处将不在Q点．设小球第一次刚要与平板碰撞时在竖直方向的速度为v1，则有
v1?2gh （5）
?、V1?分别表示碰撞结束时刻小球和平板沿竖直方向的速度，由于碰撞时间极短，在碰以v1撞过程中，小球和平板在竖直方向的动量守恒．设小球和平板的质量都是m，则有
??mV1? mv1=mv1因为碰撞是弹性的，且平板是光滑的，由能量守恒可得
解（6）、（7）两式，得
（6）
12111122?2?mV1?2?mu0 mv1?mu0=mv122222??0 v1V1?=v1?2gh （7）
（8） （9）
碰撞后，平板从其平衡位置以V1?为初速度开始作简谐振动．取固定坐标，其原点O与平板处于平衡位置时板的上表面中点重合，x轴的方向竖直向下，若以小球和平板发生碰撞的时刻作为t?0，则平板在t时刻离开平衡位置的位移
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xPQ?Acos??t???
式中
??2πT A和?是两个待定的常量，利用参考圆方法，在t时刻平板振动的速度
vPQ??A?sin??t???
因t?0时，xPQ?0．vPQ?V?，由（9）、（11）、（12）式可求得
A?2gh2?T
???π2
把（13）、（14）式代入（10）式，得
xPQ?2gh2πTcos??2π?Tt?π?2?? 碰撞后，小球开始作平抛运动．如果第一次碰撞后，小球再经过时间t2与平板发生第二次碰撞且发生在Q处，则在发生第二次碰撞时，小球的x座标为
x12B?t2??2gt2 平板的x座标为
xPQ?t2??2gh2πTcos??2π?Ttπ?2?2?? 在碰撞时，有
xB?t2??xPQ?t2?
由（16）、（17）、（18）式，代入有关数据得
4.90t2?π?2?4.41cos??πt2?2??
这便是t2满足的方程式，通过数值计算法求解方程可得（参见数值列表）
t2?0.771s
如果第二次碰撞正好发生在平板的边缘Q处，则有
L?u0?t1?t2?
由（1）、（20）和（21）式得
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（10）
（11）
（12）
（13） （14）
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20） （21）
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u0?L?0.46m/s t1?t2（22）
而满足题中要求的u0的最小值应大于（22）式给出的值．综合以上讨论，u0的取值范围是
附：（19）式的数值求解
用数值解法则要代入t2不同数值，逐步逼近所求值，列表如下：
0.46m/s?u0?0.71m/s
（23）
t2 xPQ?4.41cos?πt2?2 xB?4.90t20.730 0.750 3.12 2.76 0.36 0.760 3.02 2.83 0.19 0.765 2.96 2.87 0.09 0.770 2.91 2.91 0 0.771 2.91 2.91 0 0.772 2.90 2.91 -0.01 0.775 2.86 2.94 -0.08 0.780 2.81 2.98 -0.17 0.790 2.70 3.06 -0.36 0.810 2.48 3.21 -0.73 ??π?2?? 3.31 2.61 0.70 xPQ?xB 二、参考解答：
解法一
因为B点绕A轴作圆周运动，其速度的大小为
B点的向心加速度的大小为
vB??l
（1） （2）
aB??2l
因为是匀角速转动，B点的切向加速度为0，故aB也是B点的加速度，其方向沿BA方向．因为C点绕D轴作圆周运动，其速度的大小用vC表示，方向垂直于杆CD，在考察的时刻，由图可知，其方向沿杆BC方向．因BC是刚性杆，所以B点和C点沿BC方向的速度必相等，故有
π2??l 42此时杆CD绕D轴按顺时针方向转动，C点的法向加速度
2vC aCn? （4）
CD
vC?vBcos（3）
由图可知CD?22l，由（3）、（4）式得 aCn?其方向沿CD方向．
下面来分析C点沿垂直于杆CD方向的加速度，即切向加速度aCt．因为BC是刚性杆，所以C点相对B点的运动只能是绕B的转动，C点相对
?a aC tv CB Cn? B A aC C ?vC 22?l （5） 8?vB D B点的速度方向必垂直于杆BC．令vCB表示其速度的大小，根据速度合成公式有
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由几何关系得
???vCB?vC?vB
vCB?22vB?vC?22vB? ?l 222vCB（6）
由于C点绕B作圆周运动，相对B的向心加速度 因为CB?
aCB?2l，故有
CB （7）
aCB?22?l 4（8）
其方向垂直杆CD.
由（2）式及图可知，B点的加速度沿BC杆的分量为
π 4所以C点相对A点（或D点）的加速度沿垂直于杆CD方向的分量
?aB?BC?aBcos （9）
aCt?aCB??aB?BC?322?l 4（10）
C点的总加速度为C点绕D点作圆周运动的法向加速度aCn与切向加速度aCt的合加速度，即
22 aC?aCn?aCt?742?l 8（11）
aC的方向与杆CD间的夹角
??arctanaCt?arctan6?80.54? aCn（12）
解法二：通过微商求C点加速度
以固定点A为原点作一直角坐标系Axy，Ax轴与AD重合，Ay与AD垂直．任意时刻t，连杆的位形如图所示，此时各杆的位置分别用?，?和?表示，且已知AB?l，
B y C ? BC?2l，CD?22l，AD?3l，
标表示为
d????，C点坐dtA ? ? D （1） （2）
x xC?lcos??2lcos? yC?lsin??2lsin?
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将（1）、（2）式对时间t求一阶微商，得 dxd?d???
Cdt??l??sin?dt?2sin?dt?? dyCd?dt?l???cos?dt?2cos?d??dt?? 把（3）、（4）式对时间t求一阶微商，得
d2xC??d??2d2??d?2d2??dt2??l??cos????dt???sin?dt2cos???2??dt???2sin?dt2?? ? d2yCdt2?l?2???sin????d???dt???cos?d2??d??2d2??dt2?2sin???dt???2cos?dt2? ??根据几何关系，有
CDsin??ABsin??BCsin? CDcos??ABcos??BCcos??3l
即 22sin??sin??2sin?
22cos??3?cos??2cos?
将（7）、（8）式平方后相加且化简，得
2sin?sin??2cos?cos??3cos??32cos??2?0 对（9）式对时间t求一阶微商，代入??π2，??πd?4，dt???，得 d?dt?12?
对（9）式对时间t求二阶微商，并代入上述数据，得
d2?dt2?38?2 将（10）、（11）式以及?，?，d?dt的数值代入（5）、（6）式，得 d2xCdt2??58l?2 d2yC72dt2??8l? 所以
?d2x22aC??d2yC??dt????742C??2?dt2??l?8?
由图知，aC与x轴的夹角为?
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（3）
（4）
（5）
（6）
（7） （8）
（9）
10）
11）
12）
（（（
2007年第24届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考解答（word版）
