第11届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛
小学组试题参考解答
一、选择题
题号 答案 说明：
1. 答：选（D）.
解：考察空间想象力.实际是逆向想像操作过程；
选（D）.
2．答：选（C）.
解：?2008006?2006?1000?2006?2006?1001?(2?17?59)?(7?11?13).选（C）. 3. 答. (A).
解：2006年有365天，而365 = 7×52 +1, 又已知2006年有53个星期天.只能元旦是星期天,且12月31日也是星期日， 所以2007年的元旦是星期一.选(A). 4. 答：选（D）. 解：如图，长方形ABCD中AB︰BC = 5︰4.将AB，CD 边 各5等分，BC，DA边各4等分. 设每份长度为a .由于两只蚂 蚁第一次在B点相遇，所以第一只蚂蚁走5a，第二只蚂蚁走4a. 接下来，第一只蚂蚁由B走到E点时，第二只蚂蚁由B走到F
点，再接下来，当第一只蚂蚁由E走到G点时，第二只蚂蚁由F也走到G，这时，两只蚂蚁第二次相遇在DA边上.选（D）.
1 D 2 C 3 A 4 D 5 B 6 B
5. 答：选（B）. 解：连接AE，BD. 因为AD//BC，则S?PDC?S?PDB， 又AB//ED，则S?EAD?S?EBD.所以
S阴影?S?EPD?S?PDC?S?EPD?S?PDB?S?EBD?S?EAD
?11SADEF??6.36?3.18（平方厘米）. 226. 答. 选(B).
解：贝贝在左、妮妮在右相邻时的排法有4×3×2×1=24种, 贝贝在右、妮妮在左相邻时的排法也有4×3×2×1=24种, 总的排法5×4×3×2×1=120种. 所以贝贝和妮妮不相邻的排法是 120 - 2×24 = 72种. 二、A组填空题
题号 答案 说明：
7. 答：“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于35. 解：根据加法规则，“第=1”. “届 + 赛 = 6 ”或 “届 + 赛 = 16”.
若“届 + 赛 = 6”，只能是 “届”、“赛”分别等于2或4，此时“一 + 杯 = 10”只能“一”、“杯”分别为3或7. 此时“十 + 华 = 9”，“十”、“华”分别只能取（1，8），（2，7），（3，6），（4，5）.但1，2，3，4均已被取用，不能再取.所以，“届 + 赛 = 6”填不出来，只能是“届 + 赛 = 16”. 这时“届”、“赛”只能分别取值9和7.这时只能是 “一 + 杯 +1 = 10”且“十 + 华 +1= 10”，也就是“一 + 杯 = 9”同时“十 + 华 = 9”. 所以它们可以分别在（3，6），（4，5）两组中取值. 因此 “第、十、一、届、华、杯、赛” 所代表的7个数字的和等于1+9+9+16=35. 8.答：有直尺的女生有23人.
解.有三角板的学生共50–28 = 22（人），其中女生22–14=8（人），那么有直尺
7 35 8 23 9 10 4 226.08 的女生有31–8 = 23人.
9. 答：这个玻璃杯的容积为226.08（立方厘米）.
解：如图，一个长为12厘米的直棒状细吸管放在玻璃杯内，另 一端沿吸管最多能露出4厘米，表明直圆柱的高CB =12–4 = 8 厘米；另一端沿吸管最少可露出2厘米，表明直圆柱的轴截面矩 形的对角线长为AC = 12 - 2 =10厘米. 由直角三角形中“勾6股8 弦10”的常识，可知圆柱底面圆的直径是6厘米，半径为3厘米. 因此，这个玻璃杯的容积为3.14?32?8?226.08（立方厘米） 10. 答.4个.
解. 因为在异色棋子之间放黑子，圆周上只有5个棋子，必有相邻两个棋子是同色的，所以，不可能出现5个黑子.而第二次操作时圆周上就出现了4个黑子.所以，在各次操作完成后，圆圈上呈现的5个围棋子中最多能有4个黑子. 三、B组填空题
题号 答案 说明：
11. 答：麦田500亩，化肥 2700千克.
解：设麦田x亩，如每亩施6千克，则缺少300千克化肥，可知现有化肥为6x - 300千克；如每亩施5千克，则余下200千克化肥，可知现有化肥应为5x +200千克.由于现有化肥量是个定值，所以 6x – 300 = 5x +200，解得 x = 500（亩）.
现有化肥量是 5×500 +200 = 2700（千克） 12. 答：101位数；余数为4.
解1：一位的奇数有5个，两位的奇数有45个，再加两个三位奇数，所以a 是一个5+2×45+3×2=101位数.
11 500；2700 12 101；4 13 27；37 14 95，143 从1开始的连续奇数被9除的余数依次为
1，3，5，7，0，2，4，6，8，1，3，5，7，0，2，4，6，8，……，从1开始，每周期为9个数1，3，5，7，0，2，4，6，8，循环. 因为（1+3+5+7+0+2+4+6+8）被9除余数为0，从1～89恰为5个周期，所以这个101位数a被9除的余数为： 1+3+5+7+0+2+4 被9除的余数，等于4.
解1：一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被9除的余数相同， 利用这条性质，a＝13579111315171921……9799101103中13579数字和被9除的余数是7，而111315171921……9799所有数字之和被9除的余数是0，101103数字之和被9除的余数是6。 所以，a被9除的余数是（7＋6）被9除的余数，是4。 13.答：要保证有2张牌点数、颜色都相同，至少要取27张牌.要有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），至少要取37 张牌.
解： 对前一种情况，可取红、黑色的1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13点各2张，共13?2?26张，那么再取一张牌，必定和其中某一张牌点数相同，于是就有2张牌点数和颜色都相同。这是最坏的情况，因此，至少要取27张牌，必能保证有2张牌点数、颜色都相同。 对后一种情况，有以下的搭配：
（1，2，3）、（4，5，6）、（7，8，9）、（10，11，12），13，
因而对涂阴影的9个数，四种花色的牌都取，这样可以取到 (4?2?1)?4??36张牌，其中没有3张牌的点数是相邻的.
现在考虑取37张牌，极端情况下，这37张牌，有4张是13，则至少要有33张牌取自（1，2，3）、（4，5，6）、（7，8，9）、（10，11，12）四个抽屉，根据抽屉原则，必有9个数来自其中的一个抽屉，这个抽屉中就一定有3张牌的点数是相邻的。因此，至少要取37 张牌. 14.答：95；142.
解：依面积大小数正方形，记最小的正方形的面积为1： 面积为1的正方形的个数：36；面积为2的正方形的个数：4；面积为4的正方形的个数：25；面积为9的正方形的个数：16；面积为16的正方形的个数：9；面积为25的正方形的个数：4；面积为36的正方形的个数：1，
所以，共有36＋25+16+9+4+1+4=95(个)正方形。
依三角形的斜边的长度数三角形:
① 斜边和水平线成45度角的三角形，记这类三角形最小的斜边的长度为1： 长度为1的斜边共有：36条；长度为2的斜边共有：15条； 长度为3的斜边共有：5条；长度为4的斜边共有：1条. 因为图中这类斜边每条带有2个三角形，所以共有
2??36?15?5?1??104个.
② 斜边水平的三角形，从上向下，
斜边在第一条线有2个；斜边在第二条线有4个；斜边在第三条线有4个；斜边在第四条线有5个；斜边在第五条线有2个；斜边在第六条线有2个；斜边在第七条线有2个；
所以这种类型的三角形共有21个.
③ 斜边为垂直线的三角形，从左向右：
斜边在第一条线有2个；斜边在第二条线有2个；斜边在第三条线有5个；斜边在第四条线有3个；斜边在第五条线有3个；斜边在第六条线有4个； 斜边在第七条线有1个，
所以这种类型的三角形共有20个. 共有104+21+20=145个三角形.
华杯初赛小学试题
