2015年广西“创新杯”数学竞赛高一决赛试卷解答
一、选择题（每小题6分，共36分,请将答案的序号填写在第二页答题区选择题相应题号后面的括号内）
1、如果自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a大的一个完全平方数是（ ） A. a+1 解：选D.
设与a之差最小且比a大的一个完全平方数是x，则x=a+1，所以x=(a+1)2=a+2a+1.
B. a2+1
C. a2+2a+1
D. a+2a+1
2、已知25?x2?15?x2=2，则 A. 3 解：选C. 提示：
B. 4
25?x2+15?x2的值为 ( )
C. 5
D. 6
(25?x2?15?x2)(25?x2+15?x2=25?x2?15+x2=10
)111111111111
3、计算(1+++...+)(++...+)?(1+++...+)(++...+)=( )
23102392392310
11
A.1 B. C. D. 2
102
解：选B.
111111
设a=1+++...+，则原式=a(a?1?)?(a?)(a?1)=
2310101010
4、在?ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若∠B=600，则
值为（ ）. A. 1
2
ca
的+
a+bc+b
B. 2
2
C. 1 D. 2
解：选C.
过A点作AD⊥CD于D，在Rt△BDA中，由于∠B＝60°，所以DB＝
2
C，2
3C?3?
AD＝C。在Rt△ADC中，DC2＝AC2－AD2，所以有?a??=b2?C2，
22?4?
整理得
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a2+c2=b2+ac，从而有
cac2+cb+a2+aba2+c2+ab+bc+===1. 2
a+bc+b(a+b)(c+b)ac+ab+bc+b
5、关于x的一元二次方程x2?mx+2m?1=0的两个实数根分别是x1、x2，且
2
x12+x2=7，则(x1?x2)2的值是（ ）
A．1 B．12 C．13 解：选C.
D．25
6、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(0，1)和
y(?1，0)，下列结论：①ab<0；②b2>4a；③0
b
∵由图知a<0，对称轴x=?>0，∴b>0，ab<0，①正确. 4a∵抛物线经过点(0，1)，∴c=0．
∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2?4ac>0．∵c=1，∴b2>4a，②正确. ∵由图可知当x=1时函数值为正数，∴a+b+c>0． ∵方程的一个根为x1=?1，∴b=a+c=a+1．
∴2a<0，a+a+1=a+b<1，a+b+1=a+b+c<2．∴③正确. ∵0 ∵由图可知x>?1时函数值的符号不确定，∴⑤错误． 二、填空题（每小题9分，共54分，请将答案填写在第二页答题区填空题相应题号后面的横线上） 7、实数x,y满足2x2?6x+y2=0，则x2+y2+2x的最大值为____________ 答案：15. 解析：由已知得y2=?2x2+6x≥0，解得0≤x≤3，原式=x2+(?2x2+6x)+2x =?(x?4)2+16，当x=3时，原式有最大值为15。 8、有一个两位数其数字之和为14，若将此两数字之位置交换，则所得之数较之原数大18，则原数为 . 答案：68. 解析：设原数为10x+y，则有x+y=14,10y+x=10x+y+18，解得x=6,y=8。 x第 2 页 共 5 页 9、已知整数x,y满足x+2y=50，则整数对(x,y)的个数是________. 答案：3. 解析：x,2y,52 是同类根式． 10、若a2+11a+16=0， b2+11b+16=0(a≠b)，则答案：±157 4ba?=_______. ab ?a+b=?11 解：由已知a,b是方程x2+11x+16=0的两根。∴? ∴a<0，b<0， ab=16? 而 baa?b1111 ?==(a?b)=±(a+b)2?4ab=±121?64=±57. ab4444ab 11、如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，点P是△ABC内的一点， 使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝_________. 答案：43. 解析：由题意∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，设∠PBC＝α，∠ABC＝60°, 则∠ABP＝60°－α，∴∠BAP＝∠PBC＝α， ∴△ABP∽△BPC，BP= APBP2 =，BP＝AP·PC, BPPC AP?PC=48=43. 11 12、已知x=(13+11)，y=(13?11) ，则代数式x2+y2+xy 的值 22 为 ． 答案： 25. 2 以下为答题区域 请将选择题、填空题的答案填写在下面相应位置 一、选择题（每小题6分，共36分） 1、（ D）；2、（ C ）；3、（ B）；4、（ C）；5、（ C ）；6、（ B ）. 二、填空题（每小题9分，共54分） 第 3 页 共 5 页 7、____15_; 8、____68_____; 9、__3_____; 10、±25157; 11、43; 12、 24三、解答题（每小题20分，共60分） 13、关于x的方程kx2?(k?1)x+1=0有有理根，求整数k的值。 解：①当k=0时，x=-1，方程有有理根。 ………………………5分 ②当k≠0时，因方程有有理根，所以若k是整数，则?=(k?1)2?4k＝ k2?6k+1必为完全平方数，即存在非负整数m，使k2?6k+1=m2. 配方得：(k?3)2?m2=8 (k?3+m)(k?3?m)=8.………………10分 所以它们均为偶数，又 由k?3+m与k?3?m是奇偶性相同的整数，其积为8， ?k?3+m=4?k?3+m=?2 k－3＋m＞k－3－m，从而有?或?…………15分 k?3?m=2k?3?m=?4?? ∴k=6或k=0（舍去）. 综合①②可知，方程kx2?(k?1)x+1=0有有理根，整数k的值为k=0或k=6. …………………20分 14、已知四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA,点K，L分别在线段AB，BC上，并且BK=2AK，BL=2CL，点M，N分别是线段CD，DA的中点，证明：KM=LN. 证明： 如图：连结BD、AM、CN。 由已知得AB=BC，CD=DA，BD=BD，由?ABD=?BCD，因此∠BAD=∠BCD. .......................................5分 易证：?ABD=?BCD，有 ∠KAM=∠BAD?∠MAD=∠BCD?∠NCD=∠LCN...............................15分 那么?KAM=?LCN，故KM=LN ........................20分 ???第 4 页 共 5 页 15、若勾股数组中，弦与股的差为1。证明这样的勾股数组可表示为如下形式：2a+1， 2a2+2a， 2a2+2a+1，其中a为正整数。 证明：设勾长为x，弦长为z，则股长为z?1 ∵(z，z?1)=1 ..................5分 ∴x，z?1，z是一个基本勾股数组。......................10分 由z为奇数知：z?1为偶数，从而x为奇数.................15分 设x=2a+1（a为正整数），则有(2a+1)2+(z?1)2=z2，解得 z=2a2+2a+1，故勾股数组具有形式: 2a+1 , 2a2+2a , 2a2+2a+1......................20分 第 5 页 共 5 页
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