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次不等式：
一元二
一元一次不等式的解轴表示） 例1、已知关于范围．
例2．关于x的不等式
对所有实数x∈R都成立，求a的取值范围.
例3、若关于x的不等式x2?ax?a?0的解集为(??,??)，则实数a的取值范围是
______________；若关于x的不等式x2?ax?a??3的解集不是空集，则实数a的取值范围是______________。（-4,0）, ???,?6???2,???
几个重要不等式 （1）若a?R,则|a|?0,a2x2?(3?a2)x?2a?1?0法：（依据、步骤、注意的问题，利用数
y?log2(?ax2?ax?1)x的不等式在(–2，0)上恒成立，求实数a的取值
?0
（2）若a、b?R?,则a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（当仅当a=b时取等号） （3）如果a,b都是正数，那么
(4)若a、b、c?R?,则ab?a?b（当仅当.2a=b时取等号）一正、二定、三相等.
a?b?c3?abc（当仅当3a=b=c时取等号）
ba(5)若ab?0,则??2（当仅当
ab
a=b时取等号）
|x|?a?x2?a2??a?x?a
|x|?a?x (6)a?0时，2?a2?x??a或x?a;（7）若a、b?R,则||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
常用不等式
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22a?b?a?b?ab?2(根据目标不等式左右的运算结构选用)； （1）221?1ab（2）a、b、c?R，a2?b2?c2?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c时，取等号）； （3）若a?b?0,m?0，则?bab?m（糖水的浓度问题）。如 a?m如果正数a、b满足ab?a?b?3，则ab的取值范围是_________（答：?9,???） 常用不等式的放缩法：①1?n111111?p2p??(n?2) n?1n(n?1)nn(n?1)n?1n②n?1?n?性
1n?n?1p12np1n?n?1?n?n?1(n?1)利用函数的单调
简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，
并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。 如（1）解不等式(x?1)(x?2)2?0。（答：{x|x?1或x??2}）；
（2）不等式(x?2)x2?2x?3?0的解集是____（答：{x|x?3或x??1}）；
（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)?0的解集为{x|1?x?2}，g(x)?0的解集为?，则不等式f(x)gg(x)?0的解集为______（答：(??,1)U[2,??)）；
（4）要使满足关于x的不等式2x2?9x?a?0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x2?4x?3?0和x2?6x?8?0中的一个，则实数a的取值范围是______.（答：[7,)） 分式不等式的解法：先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式
中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如（1）解不等式
5?x； ??1（答：(?1,1)U(2,3)）2x?2x?3.
818.
（2）关于x的不等式ax?b?0的解集为(1,??)，则关于x的不等式解集为_____（答：(??,?1)?(2,??)）. 绝对值不等式的解法：
ax?b?0的x?2（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如x?1?x?2＞a在x?R上有解,则a的取值范围是（???,3?）
（2）利用绝对值的定义；x?a(a?0)??a?x?a， x?a(a?0)?x??a或x?a （3）数形结合；如解不等式|x|?|x?1|?3（答：(??,?1)U(2,??)）
（4）两边平方：如若不等式|3x?2|?|2x?a|对x?R恒成立，则实数a的取值范围为______。（答：{}）
含参不等式的解法：求解通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.
如（1）若loga?1，则a的取值范围是__________（答：a?1或0?a?）；
ax2?x(a?R) （2）解不等式
ax?1
232343（答：a?0时，{x|x?0}；a?0时，{x|x?或x?0}；a?0时，{x|?x?0}或x?0}）
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式ax?b?0的解集为(??,1)，则不等式含绝对值不等式的性质：
a、b同号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|； a、b异号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|.
x?2（－1,2）） ?0的解集为__________（答：
ax?b1a1a如设f(x)?x2?x?13，实数a满足|x?a|?1，求证：|f(x)?f(a)|?2(|a|?1)
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不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函
数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题
若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?min?A 若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?max?B
如（1）设实数x,y满足x2?(y?1)2?1，当x?y?c?0时，c的取值范围是______（答：
?2?1,??）； ??（2）不等式x?4?x?3?a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_____（答：； a?1）
（3）若不等式2x?1?m(x2?1)对满足m?2的所有m都成立，则x的取值范围_____（答：（
7?13?1,））； 22(?1)n?1（4）若不等式(?1)a?2?对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是
nn_____（答：[?2,)）；
（5）若不等式x2?2mx?2m?1?0对0?x?1的所有实数x都成立，求m的取值范围（.答：
1m??）
2322).能成立问题
若在区间D上存在实数x使不等式f?x??A成立,则等价于在区间D上f?x?max?A； 若在区间D上存在实数x使不等式f?x??B成立,则等价于在区间D上的f?x?min?B.如 已知不等式（答：a?1）
两个重要函数：|x|?|x?1|?3 函数y=x+练习：
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x?4?x?3?a在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围____
1 x.
1、已若x?1，求2?3x?1x9y451的最小值． 已知x＜，求函数y=4x-2+的最大值
4x?5x?142、知x,y?R?且??1，则x?y的最小值是_____________．若x?2y?1，则2x?4y的最小值是______
3、知a，b，c，d均为实数，有下列命题： <1>若ab?0，bc?ad?0，则? <3>若bc?ad?0，?
cacadcd?0；<2>若ab?0，??0，则bc?ad?0 babd?0，则ab?0其中正确命题是（） b(x?1)2?4f(x)?(x??1)x?1 4.求函数的最小值.
5、求证：1?111112342 ??L??2x(1?x)??2x(1?x)(1?x)?()?22223n22327 二元一次不等式组与简单线性规划问题
1.二元一次不等式表示的平面区域：直线l: ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分：
（1）直线l上的点（x,y）的坐标满足ax+by+c=0
（2）直线l一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标都满足ax+by+c>0 （3）直线l另一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标满足ax+by+c<0
所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（x0 , y0）,从a0x+b0y+c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域。
2.线性规划：如果两个变量x,y满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，称这个线性函数为目标函数，称一次不等式组为约束条件，像这样的问题叫作二元线性规划问题。其中，满足约束条件的解(x,y)称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域，使目标函数取得最大值和最小值的可行解称为这个问题的最优解。
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高中数学不等式经典方法总结
