解答题的八个答题模板
【模板特征概述】
数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论依据，结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．
“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．
模板1 三角变换与三角函数的性质问题
π
x＋?－3sin2x＋sin xcos x＋1. 已知函数f(x)＝2cos x·sin??3?
(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值及最小值；(3)写出函数f(x)的单调递增区间．
审题路线图 不同角化同角→降幂扩角→化f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h→结合性质求解．
规 范 解 答 示 例 13解 f(x)＝2cos x?sin x＋cos x?－3sin2x＋sin xcos x＋1 2?2?＝2sin xcos x＋3(cos2x－sin2x)＋1＝sin 2x＋3cos 2x＋1 π2x＋?＋1. ＝2sin?3??2π(1)函数f(x)的最小正周期为＝π. 2ππ2x＋?≤1，∴－1≤2sin?2x＋?＋1≤3. (2)∵－1≤sin?3?3???πππ∴当2x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取3212得最大值3； ππ5π当2x＋＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝－＋kπ，k∈Z时，f(x)3212取得最小值－1. 构 建 答 题 模 板 第一步 化简：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式． 第二步 整体代换：将ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sin x，y＝cos x的性质确定条件． 第三步 求解：利用ωx＋φ的范围求条件解得函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h的性质，写出结果． 第四步 反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性. - 1 - / 1
πππ5ππ(3)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋2321212kπ，k∈Z. 5ππ－＋kπ，＋kπ? (k∈Z). ∴函数f(x)的单调递增区间为?12?12?1 (2014·福建)已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－. 2
π2
(1)若0<α<，且sin α＝，求f(α)的值；
22(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间． π2
解 方法一 (1)因为0<α<，sin α＝，
22所以cos α＝所以f(α)＝2
. 2
22211×(＋)－＝. 22222
1
(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
21＋cos 2x11
＝sin 2x＋－ 22211
＝sin 2x＋cos 2x 22＝
2πsin(2x＋)， 24
2π所以T＝＝π.
2
πππ
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得
2423ππ
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
88所以f(x)的单调递增区间为[kπ－
3ππ
，kπ＋]，k∈Z. 88
1
方法二 f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
21＋cos 2x11
＝sin 2x＋－ 22211
＝sin 2x＋cos 2x 22
- 1 - / 1
＝
2πsin(2x＋)． 24
π2π(1)因为0<α<，sin α＝，所以α＝，
224从而f(α)＝
2π23π1sin(2α＋)＝sin＝. 24242
2π
(2)T＝＝π.
2
πππ
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得
2423ππ
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
88所以f(x)的单调递增区间为[kπ－
3ππ
，kπ＋]，k∈Z. 88模板2 解三角形问题
CA3
在△ABC中，若acos2＋ccos2＝b.
222
(1)求证：a，b，c成等差数列； (2)求角B的取值范围．
审题路线图 (1)化简变形―→用余弦定理转化为边的关系―→变形证明 (2)用余弦定理表示角―→用基本不等式求范围―→确定角的取值范围
规 范 解 答 示 例 1＋cos CCA(1)证明 因为acos2＋ccos2＝a·＋2221＋cos A3c·＝b， 22所以a＋c＋(acos C＋ccos A)＝3b， 第二步 定工具：即根据条件和所求，合理故a＋c＋?a·构 建 答 题 模 板 第一步 定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向． ??a2＋b2－c22ab＋c·b2＋c2－a22bc??＝3b， 选择转化的工具，实施边角之间的互化． ?整理，得a＋c＝2b，故a，b，c成等差数列． 第三步 求结果． ?a＋c?22＋c2－a??a2＋c2－b2?2?(2)解 cos B＝＝ 2ac2ac3?a2＋c2?－2ac6ac－2ac1＝≥＝， 8ac8ac2第四步 再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角- 1 - / 1
π因为0 (2014·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知BA·BC 1 ＝2，cos B＝，b＝3.求： 3(1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值． →→ 解 (1)由BA·BC＝2得c·acos B＝2. 1 又cos B＝，所以ac＝6. 3 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B. 1 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13. 3 ????ac＝6，?a＝2，?a＝3，解?得?或? 22????a＋c＝13，?c＝3?c＝2. 因为a>c，所以a＝3，c＝2. (2)在△ABC中， sin B＝ 1－cos2B＝ 122 1－??2＝， 33 由正弦定理， c22242 得sin C＝sin B＝×＝. b339因为a＝b>c， 所以C为锐角， 因此cos C＝ 1－sin2C＝ 4227 1－??＝. 99 于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C 17224223 ＝×＋×＝. 393927 模板3 数列的通项、求和问题 (2014·江西)已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn ＋2bn＋1bn＝0. - 1 - / 1 an (1)令cn＝，求数列{an}的通项公式； bn(2)若bn＝3n1，求数列{an}的前n项和Sn. 审题路线图 (1)anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0→ an＋1an －＝2→cn＋1－cn＝2→cn＝2n－1 bn＋1bn － (2)cn＝2n－1→an＝?2n－1?·3n－1――→得Sn 规 范 解 答 示 例 解 (1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0(bn≠0，n∈N*)， an＋1an所以－＝2，即cn＋1－cn＝2， bn＋1bn所以数列{cn}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故cn＝2n－1. (2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1， 于是数列{an}的前n项和Sn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1， 3Sn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n， 相减得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)3n， 所以Sn＝(n－1)3n＋1. 11，?是函数f(x)＝ax (a>0，且a≠1)的图象上的一点．等比数列{an}的前n 已知点??3?项和为f(n)－c.数列{bn} (bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝Sn＋Sn－1 (n≥2)． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； ?1?1 001 (2)若数列?bb?的前n项和为Tn，问满足Tn>的最小正整数n是多少？ 2 012?nn＋1? 错位相减法 构 建 答 题 模 板 第一步 找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式． 第二步 求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式． 第三步 定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)． 第四步 写步骤：规范写出求和步骤． 第五步 再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范. 1?x1 解 (1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝??3?. 31 由题意知，a1＝f(1)－c＝－c， 3 - 1 - / 1
高考数学(理)二轮专题练习：解答题的八个答题模板(含答案)
