第12讲 导数的综合应用
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )．
A．(－1,2) C．(－3,6)
B．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析 ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)， 由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0， 即a2－3a－18＞0. ∴a＞6或a＜－3. 答案 B
2．已知函数f(x)＝x2＋mx＋ln x是单调递增函数，则m的取值范围是( )． A．(－22，＋∞) C．(－∞，22)
B．[－22，＋∞) D．(－∞，22]
2x2＋mx＋1解析 依题意知x＞0时，f′(x)＝，
x令g(x)＝2x2＋mx＋1，x∈(0，＋∞)，
m
当－4≤0时，g(0)＝1＞0恒成立，∴m≥0成立， m
当－4＞0时，则Δ＝m2－8≤0，∴－22≤m＜0， 综上，m的取值范围是[－22，＋∞)． 答案 B
3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的年关系是R＝R(x)＝1??400x－x2?0≤x≤400?，2?
??80 000?x＞400?，
A．100 C．200
则总利润最大时，每年生产的产品是( )．
B．150 D．300
解析 由题意得，总成本函数为C＝C(x)＝20 000＋100x，
x2
?300x－2－20 000?0≤x≤400?，
总利润P(x)＝?
?60 000－100x?x＞400?，
??300－x?0≤x≤400?，
又P′(x)＝?
??－100?x＞400?，
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大． 答案 D
4．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是( )．
A．(－∞，7] C．(－∞，0]
B．(－∞，－20] D．[－12,7]
解析 令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或3(舍去)．∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20，可知应选B.
答案 B
5．(2013·潍坊模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，1??1??
不等式f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝30.3f(30.3)，b＝(logπ3)f(logπ3)，c＝?log39?f?log39?，
????则a，b，c间的大小关系是( )．
A．a>b>c
B．c>b>a
C．c>a>b D．a>c>b
解析 设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0(x<0)，∴当x<0时，g(x)＝xf(x)为减函数．
又g(x)为偶函数，∴当x>0时，g(x)为增函数． 1
∵1<30.3<2,0
6．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．
72
解析 设底面宽为x cm，则长为2x cm，高为2x2 cm， 72144216
S＝4x2＋x＋x＝4x2＋x. 216
S′＝8x－x2＝0，解得x＝3 (cm)． ∴长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm. 答案 6 cm 3 cm 4 cm
7．(2013·江西九校联考)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：
x y －1 1 0 2 2 0 4 2 5 1 f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示．
(1)f(x)的极小值为________；
(2)若函数y＝f(x)－a有4个零点，则实数a的取值范围是________．
解析 (1)由y＝f′(x)的图像可知： x f′(x) f(x) (－1,0) ＋ 0 0 极大值 (0,2) － 2 0 极小值 (2,4) ＋ 4 0 极大值 (4,5) － ∴f(2)为f(x)的极小值且f(2)＝0. (2)y＝f(x)的大致图像如图所示：
若函数y＝f(x)－a有4个零点，则a的取值范围是[1,2)． 答案 (1)0 (2)[1,2)
8．(2014·延安模拟)已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________ .
3x－13x－1解析 当x∈(0,1]时不等式ax－3x＋1≥0可化为a≥x3，设g(x)＝x3，3
x∈(0,1]，
?1??x－2?63x－?3x－1?·3x??
g′(x)＝＝－. 64xx
3
2
g′(x)与g(x)随x的变化情况如下表：
x g′(x) g(x) 1???0，2? ??＋ 12 0 极大值4 ?1??2，1? ??－ 因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)． 答案 [4，＋∞) 三、解答题
1
9．设函数f(x)＝2x2＋ex－xex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，求实数m的取值范围． 解 (1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， ∵f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex)，
若x＜0，则1－ex＞0，所以f′(x)＜0；若x＞0，则1－ex＜0，所以f′(x)＜0；
当x＝0时，f′(x)＝0，∴当x∈(－∞，＋∞)时，f′(x)≤0. ∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数， 即f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知，f(x)在[－2,2]上单调递减． ∴f(x)min＝f(2)＝2－e2，
∴m＜2－e2时，不等式f(x)＞m恒成立． 故实数m的取值范围是(－∞，2－e2)．
b
10．(2014·青岛一模)设函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋x，函数f(x)的图像与x轴的交点也在函数g(x)的图像上，且在此点有公切线．
(1)求a，b的值；
(2)试比较f(x)与g(x)的大小．
解 (1)f(x)＝ln x的图像与x轴的交点坐标是(1,0)， 依题意，得g(1)＝a＋b＝0，① 1b又f′(x)＝x，g′(x)＝a－x2， 又f(x)与g(x)在点(1,0)处有公切线， ∴g′(1)＝f′(1)＝1，即a－b＝1，② 11
由①②得a＝2，b＝－2. (2)令F(x)＝f(x)－g(x)，则
1?11?1
F(x)＝ln x－?2x－2x?＝ln x－2x＋2x(x＞0)，
??1111?1?2
∴F′(x)＝x－2－2x2＝－2?x－1?≤0.
??∴F(x)在(0，＋∞)上为减函数，且F(1)＝0，
创新设计高考数学北师大一轮训练：第篇 第讲 导数的综合应用
