4??x??(k??) 3231则有：x??(k?)(k?0,1,2,3)
424?（3）波腹位置：x??k?
33则有：x??k(k?0,1,2,3)
4（2）节点位置
（5）多普勒效应
求解多普勒效应问题时，首先要分析波源和观察者的运动情况，以便应用不同公式进行处理。应特别注意公式中符号规则。对于有反射面的情况，反射面相当于一个“观察者”，分析反射波时相当于一个“波源”。
2难点释疑
疑难点1. 如何理解驻波，“半波损失”。
两列振幅相同、振动方向相同、频率相同的相干波沿相反方向传播时，就叠加形成驻波。其表达式为：
y?Acos(?t?2π?x)?Acos(?t?2π?x)?2Acos2π?xcos?t
波节位置：x??(2k?1)波腹位置：x???4(k?0,1,2,)
k?2(k?0,1,2,)
相邻两波节或波腹之间的距离为
?，相邻波节间各点振动同相位，波节两侧2?范围内媒质的振动相位差为π。驻波没有能量和相位的传播，这就是驻波中2“驻”字的含义。但不断进行着动能和势能的相互转换，以及能量从波节到波腹和从波腹到波节的转移。
半波损失是指波由波疏介质进入波密介质时，在反射点处，反射波与入射波叠加形成波节。相对于入射波，反射波相位突变π，相当于出现了半个波长的波程差。
疑难点2. 波动过程任一体积元的机械能不守恒。 理想的谐振动系统是一个孤立系统，在振动过程中，质点受保守力作用，系统的动能、势能相互转换，总机
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图5-4
械能保持不变。波动过程中，虽然质元也在做简谐振动，但质元振动的动能和势能却同时达到最大，同时减小变为零,和谐振动系统有着明显的不同。在学习过程中，很多学生感到很困惑，这是学习中的一个难点。问题的关键是要理解势能产生的原因：具有形变因而产生势能。从图5-4中可明确看到，质元在最大位移处几乎没有形变，在平衡位置处形变最大，故势能最大。
习题解答
一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方向上介质中某质元在负的最大位移处，则它的能量[ ]
(A) 动能为零，势能最大 (B) 动能为零，势能为零 (C) 动能最大，势能最大 (D) 动能最大，势能为零 解析：正确答案（B）
介质中某质元的动能表达式dWk?性势能dWp?12??dVA2?2sin2(?t?x??)，质元的弹2?12??dVA2?2sin2(?t?x??)，所以在波动传播的介质中，任一体2?积元的动能、势能均随x,t作周期性变化，且变化是同相位的。体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大。体积元的位移最大时，三者均为零。
一平面简谐波的波动方程为y = (3线如图所示，则[ ]
(A) O点的振幅为－0.1m (B) 波长为3m (C) a、b两点间相位差为(D) 波速为9m/s 解析：正确答案（C） 波动方程的一般表达式是
习题图
t－x+) (SI)t = 0 时的波形曲
/2
y?Acos(?t?2??x??)，对比所给波动方程可知：各个质点的振幅都是0.1m，
7
波长??2m，角频率??3?rad?s?1，所以波速u??2????3?m?s?1?3m?s?1。2?2?a、b两点间距离差是
?，对应的相位差是 42π2π?π????r??rad?rad。
??42 某平面简谐波在t = 时波形如图所示,则该波的波函数为[ ] x?(A)y?0.5cos[4?(t?)?]cm
82x?(B)y?0.5cos[4?(t?)?]cm
82x?(C)y?0.5cos[4?(t?)?]cm
82x?(D)y?0.5cos[4?(t?)?]cm
82解析：正确答案（A）
x??波动方程的一般表达式是y?Acos??(t?)??)?，由图可知，
u??y(
u=8cm/s t= x习题图
A=0.5cm ,u?0.08m?s?1, 所以x 前系数取负值。t=时，y0?0，v0?0，此时的相位是
? 2已知条件代入方程可得：????2
x?所以，波的波函数为y?0.5cos[4?(t?)?]cm
82 一余弦波沿x轴负方向传播，已知x=-1m处振动方程为y?Acos(?t??)，若波速为ｕ，则波动方程为[ ]
??x????x?1??(A)y?Acos???t????? (B)y?Acos???t????? uu??????????x?1????x?1??(C)y?Acos???t? (D) ??y?Acos?t?????????u?u???????解析：正确答案（C）
x??沿x轴负方向传播的波动方程的一般表达式是y?Acos??(t?)??)?，本
u??题中x=-1m处的相位是?t??，相位差与波程差之间的关系是
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???2π??r??u?r，可知任意x处的相位比x=-1m的相位多
?u(x?1)，所以任意
x处的相位是?t????u(x?1)??(t?x?1)??。 u 频率为100Hz，传播速度为300m?s?1的平面简谐波，波线上距离小于波长的两点振动的相位差为π，则此两点相距[ ]
(A)1.5m (B)2.19m (C)0.5m (D)0.25m 解析：正确答案（A）
相位差与波程差之间的关系是???2π?u?300m?s?1，本题中??100Hz，?r，
??u??300?3m?3m。?r??????m?1.5m。 1002π2π 两列相干波沿同一直线反向传播形成驻波,则相邻波节间各质点的振动[ ] (A)振幅相同,相位相同 (B)振幅不全相等,相位相同 (C)振幅相同,相位不同 (D)振幅不全相等,相位不同 解析：正确答案（B） 驻波方程为y?2Acos不同，但相位相同。
在波长为λ的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为 ［ ］ (A)
2π?xcos?t，因此根据其特点，两波节间各点运动振幅
3??? (B) (C) (D) ?
442解析：正确答案（B） 驻波方程为y?2Acos2πxcos?t，波腹处质点就满足条件是：cos2πx?1，
??x???。 2 一机车汽笛频率为750 Hz，机车以时速90公里远离静止的观察者，观察者
(k?0,1,2,)相邻波腹间的距离是波长的一半，为
k?2听到的声音的频率是（设空气中声速为340m?s?1）［ ］
(A)810 Hz (B)699 Hz (C)805 Hz (D)695 Hz。 解析：正确答案（D）
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本题是多普勒效应的应用，机车汽笛是一个声源，观察者静止。所以观察者听到的声音的频率可用公式：?R?u?vR340?25 ?S??750Hz?695Hz。选（D）
u340 t=0时刻波形曲线如左图所示，此时a点运动方向 ，b点运动方向 ，坐标为x的质点振动曲线如右图所示时，则a时刻运动方向 ，b时刻运动方向 。
习题图
解析：-y,＋y, ＋y,-y
本题给出了两个很相似的曲线图，但本质却完全不同。求解本题要弄清波动图和振动图的不同的物理意义。左图是波形曲线，由波型状态和传播方向可知，a点运动方向是沿y轴负向，b点运动方向是沿y轴正向。右图是振动曲线，由曲线和传播方向可知，a点运动方向是沿y轴正向，b点运动方向是沿y轴负向。
一横波波函数为y?0.5cos[?(200t?10x)?]m，则频率?= ，波长
2??= ,初相?0= 。
解析：100HZ,0.2m,
? 22?波动方程的一般表达式是y?Acos(?t可知频率?=100HZ, 波长?=0.2m, 初相?0=
??2x??)，对比将已知波的表达式，
波相干的条件是 。 解析：两列波相干的条件是频率相同、振动方向相同、相位差恒定。
2频率为500Hz的波，其波速为350m?s?1，相位差为?的两点间距离
3为 。
解析：0.23m
相位差与波程差之间的关系是???2π??r，本题中??500Hz，u?350m?s?1，
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大物习题答案第5章机械波
