第六章 灰色系统预测
本章重点内容：灰色系统理论的产生和发展动态，灰色系统的基本概念，灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别，灰色系统预测GM（1，1）模型，GM（1，N）模型，灰色系统模型的检验，应用举例。
6.1灰色系统理论的产生和发展动态
1982邓聚龙发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一学科诞生。
1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。 1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。
6.2灰色系统的基本原理
6.2.1灰色系统的基本概念
我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。 系统信息不完全的情况有以下四种： 1.元素信息不完全 2.结构信息不完全 3.边界信息不完全 4.运行行为信息不完全
6.2.2灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别 主要在于对系统内涵与外延处理态度不同； 研究对象内涵与外延的性质不同。
灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象。
“黑箱”方法着重系统外部行为数据的处理方法，是因果关系的两户方法，使扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外延内
涵均注重的方法。
6.2.3灰色系统的基本原理 公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。
公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。 公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。
公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。
公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。 公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。 6.2.4灰色系统理论的主要内容
灰色系统理论经过10多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（G，M）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。
灰色关联分析 灰色统计 灰色聚类
6.3灰色系统预测模型
灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。
6.3.1灰色系统理论的建模思想
下面举一个例子，说明灰色理论的建模思想。考虑4个数据，记为X(0)(1),X(0)(2),X(0)(3),X(0)(4)，其数据见下表： 1 2 3 4 序号 X(0)(2) X(0)(4) X(0)(1) X(0)(3) 符号 1 2 3 4 数据 将上表数据作图得 543Y21012X34
上图表明原始数据X没有明显的规律性，其发展态势是摆动的。如果将原始数据作累加生成，记第K个累加生成为X(1)(K),并且
X(1)(1)?X(0)(1)?1
X(1)(2)?X(0)(1)?X(0)(2)?1?2?3
X(1)(3)?X(0)(1)?X(0)(2)?X(0)(3)?1?2?1.5?4.5
X(1)(4)?X(0)(1)?X(0)(2)?X(0)(3)?X(0)(4)?1?2?1.5?3?7.5 得到数据如下表所示 1 2 3 4 序号 X(1)(1) X(1)(2) X(1)(3) X(1)(4) 符号 数据 1 3 4.5 7.5 (0)87654321012X34Y
上图表明生成数列X是单调递增数列。
6.3.2灰色系统预测模型建立 1. 数列预测GM（1，1）模型
灰色系统理论的微分方程成为Gm模型，G表示gray（灰色），m表示model（模型），Gm（1，1）表示1阶的、1个变量的微分方程模型。
Gm（1，1）建模过程和机理如下： 记原始数据序列X(0)为非负序列
X?0??x?0??1?,x?0??2?,x?0??3?,...,x?0??n???其中，x(0)(k)?0,k?1,2,?,n 其相应的生成数据序列为X(1)
X?1??x?1??1?,x?1??2?,x?1??3?,..,.x?1??n?(1)ki?1??其中，x(k)??x(0)(i),k?1,2,?,n
Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列 Z(1)?z(1)(1),z(1)(2),?,z(1)(n)
??其中，Z(1)(k)?0.5x(1)(k)?0.5x(1)(k?1),k?1,2,?n
称x(0)(k)?az(1)(k)?b为Gm(1,1)模型，其中a，b是需要通过建模求解的参数，若a?(a,b)?为参数列，且
??z(1)(2)1??x(0)(2)???z(1)(3)1??x(0)(3)?Y???，B???z(1)(4)1? ????(0)?(1)??x(n)???z(5)??则求微分方程x(0)(k)?az(1)(k)?b的最小二乘估计系数列，满足
??(BTB)?1BTY adx(1)?ax(1)?b为灰微分方程，x(0)(k)?az(1)(k)?b的白化方程，称dt也叫影子方程。
如上所述，则有
dx(1)?ax(1)?b的解或称时间响应函数为 1.白化方程dtbb?(1)(t)?(x(1)(0)?)e?at? xaa2.Gm(1,1)灰微分方程x(0)(k)?az(1)(k)?b的时间响应序列为
bb?(1)(k?1)?(x(1)(0)?)e?ak?,k?1,2,?,n xaa3.取x(1)(0)?x(0)(1)，则
bb?(1)(k?1)?(x(0)(1)?)e?ak?,k?1,2,?,n xaa4.还原值
?(0)(k?1)?x?(1)(k?1)?x?(1)(k),k?1,2,?,n x2. 系统综合预测GM（1，N）模型P134
6.4灰色系统模型的检验
定义1.
设原始序列
X(0)?x(0)(1),x(0)(2),?,x(0)(n)
??相应的模型模拟序列为
?(0)?x?(0)(1),x?(0)(2),?,x?(0)(n) X??残差序列
?(0)(1),x(0)(2)?x?(0)(2),?,x(0)(n)?x?(0)(n)? ??x(0)(1)?x相对误差序列
??(1)?(2)?(n)????(0),(0),?,(0)?
x(1)x(2)x(n)??n???k?1
?(0)???(1),?(2),??(n)?
1.对于k＜n,称?k??(k)x(0)(k)为k点模拟相对误差，称?n??(n)x(0)(n)1n为滤波相对误差，称????k为平均模拟相对误差；
nk?1 2.称1??为平均相对精度，1??n为滤波精度；
3.给定?，当???，且?n??成立时，称模型为残差合格模型。 定义2
?(0)为相应的模拟误差序列，?(0)X 设X(0)为原始序列，?为X(0)与X的绝对关联度，若对于给定的?0?0,???0，则称模型为关联合格模型。 定义3
?(0)为相应的模拟误差序列，?(0)为残差序设X(0)为原始序列，X
数学建模——灰色理论
