2021届山东省淄博第一中学高三上学期开学考试
数学（理）试题
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合A={x|log2x＜1}，B={x|x+x﹣2＜0}，则A∪B（ ） A．（﹣∞，2） B．（0，1） C．（﹣2，2）
22
D．（﹣∞，1）
2．随机变量ξ服从正态分布N（2，σ），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（ ） A．0.6
B．0.4 C．0.3
D．0.2
3．由直线x????
，x?，y?0与直线y?cosx所围成的封闭图形的面积为（ ） 66
C．3 D．3 2A．1 B．1
254．?x2?2??1?1?的展开式的常数项是（ ） ?2?x??
A．﹣3
xB．﹣2
xC．2 D．3
x5．对于函数f(x)?e2?lnx?2k，若f′（1）=1，则k=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
6. 从1～9这9个正整数中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（ ） A．
B．
C．
D．
7．己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方程f（x）+2=f（）的实数x为 （ ） A．
B．
C．
2 D．
8．已知函数f(x)?xlnx?ax有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ） A．???,0?
B．?0,???
C．?0,?
??1?2?D．?0,1?
9．六个人从左到右排成一行，最右端只能排甲或乙，最左端不能排乙，则不同的排法种数共有（ ）
A．192 B．216 C．240 D．288
n1??10．设二项式?33x??展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则n=（ ）
x??A．4 B．5 C．6 D．8
/11. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)?0，当x?0时，有xf(x)?f(x)?0恒成立，则不等式
f(x)?0的解集为（ ） xA.(?2,0)?(2,??) B. (?2,0)?(0,2) C. (??,?2)?(0,2) D.(??,?2)?(2,??) 12．如果定义在R上的函数f（x）满足：对于任意x1≠x2，都有xlf（xl）+x2f（x2）≥ xlf（x2）+x2f（xl），则称f（x）为“H函数”，给出下列函数： ①y=﹣x+x+l； ②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）； ③y=l﹣e； ④f（x）=⑤y=
；
其中“H函数”的个数有（ ）
x3
A．3个 B．2个 C．l个 D．0个 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分).
13. 若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,,420，则抽取的
21人中，编号在区间[241,360]内的人数为 .
14．已知X～B（n，0.5），且E（X）=16，则D（X）= ．
15.已知f(x)为偶函数，当x?0时，f(x)?ln(?x)?3x，则曲线y?f(x)在点?1，?3?处的切线方程是______________.
16、设函数f（x）=x﹣2ex﹣数a的取值范围是
三、解答题（本大题包括6小题，共70分）. 17. （本小题满分10分）
已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l的参数方程是
2
+a（其中e为自然对数的底数），若函数f（x）至少存在一个零点，则实
???4??y＝5tx＝－t＋2，
3
5
(t为参数)．
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设直线 l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值
18.（本题满分12分）已知数列?an?为等差数列，且a1?a3?8,a2?a4?12. （1）求?an?的通项公式；（2）设bn?
19. （本小题满分12分）
某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个学豆、10个学豆、20个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆都归零，游戏结束。设选手甲第一关、第二关、第三关的过关概率分别为续闯关的概率均为
an，求数列?bn?的前n项和. n2321，，，选手选择是否继4321，且各关之间闯关成功与否互不影响. 2（I）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率
(II)设该学生所得学豆总数为X,求X的分布列与数学期望 . 20、（本小题满分12分）
某地高中年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知这些学生的原始成绩均分布在
?50,100?内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表，并规定：A,B,C三级为合格，D级为不合格
为了了解该地高中年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照
?50,60?,?60,70?,?70,80?,?80,90?,?90,100?分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上
的所有数据的茎叶图如图2所示.
(Ⅰ) 求n及频率分布直方图中x,y的值；
(Ⅱ) 根据统计思想方法，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该地高中学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；
(Ⅲ)上述容量为n的样本中，从A,C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记?为所抽取的3名学生中成绩为A等级的人数，求随机变量?的分布列及数学期望.
21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax+b． （1）若f（x）与g（x）在x=1处相切，试求g（x）的表达式； （2）若φ（x）=
22．（本小题满分12分） 已知f(x)?lnx?（Ⅰ）判断f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值；
（Ⅲ）若f（x）＜x在（1，+∞）上恒成立，试求a的取值范围．
2
m(x?1)﹣f（x）在[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围． x?1a（a∈R）． x2021届山东省淄博第一中学高三上学期开学考试
数学（理）试题参考答案
一、 选择 CCBDA CDCBA BB
二、填空 13、6 14、8 15、 2x+y+1=0 16、a?e?三、解答题
17、解：(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ＝2ρsin θ， 又x＋y＝ρ，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以曲线C的直角坐标方程为x＋y－2y＝0. (2)将直线l的参数方程化为普通方程， 4
得y＝－(x－2)，令y＝0得x＝2，
3
即M点的坐标为(2,0)．又曲线C为圆，且圆心坐标为(0,1)，半径r＝1， 则|MC|＝5.
所以|MN|≤|MC|＋r＝5＋1.即|MN|的最大值为5＋1.
2
2
2
2
2
2
21 e18、解：（I）由已知条件可得??2a1?2d?8，
2a?4d?12?1解之得a1?2，d?2， 所以，an?2n．
ann?，设数列{bn}的前n项和为Tn. nn?12223n则Tn?1??2??n?1，
2221123n∴ Tn??2?3??n，
222221111n以上二式相减得Tn?1??2??n?1?n
222221nn?2 ?2(1?n)?n?2?n，
222n?2所以，Tn?4?n?1.
2（Ⅱ）由an?2n可得，bn?19、【解析】（Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2，则A1，A2互斥，
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