(目标管理)多目标决策模型层次分析法(H)代数模型离散模型

层次分析法建模

层次分析法（AHP－Analytic Hierachy process）---- 多目标决策方法

70 年代由美国运筹学家T·L·Satty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，採用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。

传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有：

机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系；

统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、

社会现象）现象的规律。

基本内容：（1）多目标决策问题举例AHP建模方法

（2）AHP建模方法基本步骤

（3）AHP建模方法基本算法

（3）AHP建模方法理论算法应用的若干问题。

参考书： 1、姜启源，数学模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育出版社 2、程理民等， 运筹学模型与方法教程，（第10章），清华大学出版社

3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第11章，第7节，清华大学出版社

一、问题举例：

A．大学毕业生就业选择问题 获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：

① 能发挥自己的才干为国家作出较好贡献（即工作岗位适合发挥专长）； ② 工作收入较好（待遇好）；

③ 生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④ 单位名声好（声誉-Reputation）； ⑤ 工作环境好（人际关系和谐等）

⑥ 发展晋升（promote, promotion）机会多（如新单位或单位发展有后劲）等。

问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择？——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序？ 工作选择 贡献收入 发展 声誉 工作环境 生活环境 可供选择的单位P1’ P2 ‘ ----- Pn

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Ｂ.假期旅游地点选择

暑假有3个旅游胜地可供选择。例如：P1：苏州杭州，P2北戴河，P3桂林，到底到哪个

地方去旅游最好？要作出决策和选择。为此，要把三个旅游地的特点，例如：①景色；②费用；③居住；④环境；⑤旅途条件等作一些比较——建立一个决策的准则，最后综合评判确定出一个可选择的最优方案。

目标层 选择旅游地

景费居饮旅准则层

色 用 住 食 途

方案层 P1 P2 P3

C．资源开发的综合判断

7种金属可供开发，开发后对国家贡献可以通过两两比较得到，决定对哪种资源先开发，效用最用。

对经济发展、贡献U 经济价值开採费 风险费 要求量 战略重要性 交通条件 铁In 铜Co 磷酸盐 钿Ur 铝Al 金Go

二、问题分析：

例如旅游地选择问题：一般说来，此决策问题可按如下步骤进行： （S1）将决策解分解为三个层次，即：

目标层：（选择旅游地） 准则层：（景色、费用、居住、饮食、旅途等5个准则）

方案层：（有P1，P2，P3三个选择地点）

并用直线连接各层次。

（S2）互相比较各准则对目标的权重，各方案对每一个准则的权重。这些权限重在人的思维过

程中常是定性的。

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例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择；

中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择； 经济不好的人：会把费用低作为第一选择。

而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。

（S3）将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。 （S4）最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。

以上步骤和方法即是AHP的决策分析方法。

三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量

在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Santy等人提出：一致矩阵法 ．．．．．即：1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较

2. 对此时採用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。

因素比较方法 —— 成对比较矩阵法：

目的是，要比较某一层n个因素C1,C2, ?, Cn对上一层因素O的影响（例如：旅游决策解中，比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性）。

採用的方法是：每次取两个因素Ci和Cj比较其对目标因素O的影响，并用aij表示，全部比较的结果用成对比较矩阵表示，即：

A?(aij)nxn, aij?0, aji?1 (或aij?aij?1) （1） aij1 aji由于上述成对比较矩阵有特点： A?(aij) , aij?0, aij?故可称A为正互反矩阵：显然，由 aij?例如：在旅游决策问题中：

1，即：aij?aji?1，故有：aji?1 aji（O的重要性为1?CC（景色）1 景色）对目标a12?1=1 表示：?

2C（费用）O的重要性为222?C（费用）对目标1，费用重要性为2）故：a12?1(即景色重要性为

2O的重要性为4?C1(景色）对目标C（景色）1a13?4?4= 表示：?

1C（居住条件）O的重要性为133?C（居住条件）对目标即：景色为4，居住为1。

O的重要性为7?C2(费用）对目标C（费用）27a23?7?= 表示：? 1C（居住条件）C（居住条件）对目标O的重要性为13?3即：费用重要性为7，居住重要性为1。

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?1??2?1因此有成对比较矩阵：A??4?1?3?1?31211715154712333??55?11?23? 11??11??？？问题：稍加分析就发现上述成对比较矩阵的问题： ① 即存在有各元素的不一致性，例如：

既然：a12?C11C411??a21?2; a13?1??a31?? C22C31a134所以应该有：a23?C2a21C12????8?8

11C3a31C34C1C2而不应为矩阵A中的a23?7

1②成对比较矩阵比较的次数要求太 ，因：n个元素比较次数为：Cn?2n(n?1)次， 2!因此，问题是：如何改造成对比较矩阵，使由其能确定诸因素C1, ?, Cn对上层因素O的权重？

对此Saoty提出了：在成对比较出现不一致情况下，计算各因素C1, ?, Cn对因素（上层因素）O的权重方法，并确定了这种不一致的容许误差范围。

为此，先看成对比较矩阵的完全一致性——成对比较完全一致性

四：一致性矩阵

Def：设有正互反成对比较矩阵：

WWW??? , a1n?1?a11?1?1 a12?1?1 , ?WWW??12n??W2W2W2?a21?? a22??1 , ? , a2n?W1W2Wn?? (4) A???W? ?? ? aij?i ?Wj????WWW?a?n an2?n ? ann?n ?1 ??n1W?W2Wn1??除满足：（i）正互反性：即

aij?0 aij?而且还满足：（ii）一致性：即

1 ( 或 aij?aji?1) aji4

aij?aia?aik? akj?ik i, j?1, 2, L n ajajk则称满足上述条件的正互反对称矩阵A为一致性矩阵，简称一致阵。

一致性矩阵（一致阵）性质：

性质1：A的秩 Rank(A)=1

有A唯一的非0的最大特征根为n

性质2：A的任一列（行）向量都是对应特征根n的特征向量：

即有(特征向量、特征值)：

?W1??W1?W2A??W?1???Wn?W?1W1W2W2W2?WnW2????W1WnW2Wn?WnWn???W1???????W2??，则向量W???? ?????W??3?????W1W1??W1W2满足：AW?????WnWn??WW2?1即： (A?nI)W?0

???W1??W??nW?1?1Wn??W??nW????????2???2??nW Wn?????????W??nW?Wn???n??n??W1?????W2?启发与思考：既然一致矩阵有以上性质，即n个元素W1, W2, W3 , …Wn 构成的向量W?? ?????W??n?是一致矩阵A的特征向量，则对一致矩阵A来说，可以把一致矩阵A的特征向量W求出之后，再把一致矩阵A的特征向量W归一化后得到的向量?，看成是诸元素W1, W2, W3 , …Wn 目标O的权向量。因此，可以用求一致矩阵的特征根和特征向量的办法，求出元素W1, W2, ???W3 , …Wn相对于目标O的权向量。

解释：一致矩阵即：n件物体M1, M2, ?,Mn，它们重量分别为W1, W2 , ?,Wn，将他们

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