第 5 课时 万有引力定律及其应用
基础知识归纳 1.开普勒三定律
(1)第一定律(轨道定律)：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上.
(2)第二定律(面积定律)：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积.
(3)第三定律(周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等.
在近似情况下，通常将行星或卫星的椭圆轨道运动处理为圆轨道运动. 2.万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物体的 质量的乘积 成正比，跟他们之间的 距离的二次方 成反比.
(2)公式：F＝Gm1m2－1122
，其中G＝6.67×10 N?m/kg，叫 引力常量 . r2(3)适用条件：仅仅适用于 质点 或可以看做 质点 的物体.相距较远(相对于物体自身的尺寸)的物体和质量均匀分布的球体可以看做 质点 ，此时，式中的r指两 质点 间的距离或球心间的距离.
3.万有引力定律的应用
GMMmv2(1)由G2?m得v＝，所以R越大，v越小；
RRR(2)由G
GMMm2
＝mωR得ω＝，所以R越大，ω越小；
R3R24π2R34π2Mm(3)由G2＝m2R得T＝，所以R越大，T越大；
GMTR(4)模型总结：
①当卫星稳定运行时，轨道半径R越大，v越 小 ；ω越 小 ；T越 大 ；
万有引力越 小 ；向心加速度越 小 .
②同一圆周轨道内正常运行的所有卫星的速度、角速度、周期、向心加速度的大小均相等.
③这一模型在分析卫星的轨道变换、卫星回收等问题中很有用. 重点难点突破 一、万有引力与重力
1.重力：重力是指地球上的物体由于地球的吸引而使物体受到的力.通过分析地球上物体受到地球引力产生的效果，可以知道重力是引力的一个分力.引力的另一个分力是地球上的物体随同地球自转的向心力(这个向心力也可以看做是
物体受到的地球引力与地面支持力的合力)如图所示.但由于向心力很小，所以在一般计算中可认为重力近似等于万有引力，重力方向竖直向下(即指向地心).
2.天体表面重力加速度问题
设天体表面重力加速度为g，天体半径为R，因为物体在天体表面受到的重力近似等于受到的万有引力，所以有mg＝G
MmGm，g＝ 22RRMmGM，g′＝
(R?h)2(R?h)2同样可以推得在天体表面上方h处重力加速度mg′＝G
重力加速度受纬度、高度、地球质量分布情况等多种因素影响，随纬度的增大而增大，随高度的增大而减小.
二、估算天体的质量和密度
把卫星(或行星)绕中心天体的运动看成是匀速圆周运动，由中心天体对卫星
4π2r4π2r3Mm(或行星)的引力作为它绕中心天体的向心力.根据G2＝man＝m2得M＝.
TGT2r因此，只需测出卫星(或行星)的运动半径r和周期T，即可算出中心天体的质量M.又由ρ＝
M423πR3，可以求出中心天体的密度.
典例精析 1.万有引力与重力
【例1】(2009?全国Ⅱ)如图所示，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油.假定区域周围岩
石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔.如果没有这一空腔，则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向：当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况下有微小偏离.重力加速度在原竖直方向(即PO方向)上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”.为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象.已知引力常数为G.
(1)设球形空腔体积为V，球心深度为d(远小于地球半径)，PQ＝x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常；
(2)若在水平地面上半径为L的范围内发现：重力加速度反常值在δ与kδ(k>1)之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半径为L的范围的中心.如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积.
【解析】(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值.因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力
G
Mm＝mΔg 2r ①
来计算，式中m是Q点处某质点的质量，M是填充后球形区域的质量， M＝ρV
②
而r是球形空腔中心O到Q点的距离 r＝d2?x2
③
Δg在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小.Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向，重力加速度反常Δg′是这一改变在竖直方向上的投影.
Δg′＝
dΔg r ④
联立①②③④式得 Δg′＝
G?Vd(d2?322x) ⑤
(2)由⑤式得，重力加速度反常Δg′的最大值和最小值分别为(Δg′)max＝
G?V d2⑥
G?Vd(d2?322L)(Δg′)min＝由题设有
⑦
(Δg′)max＝kδ，(Δg′)min＝δ ⑧
L2k3联立⑥⑦⑧式得，地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为d＝
?1 ⑨ V＝
L2k?2G?(k3 ⑩
?1)【思维提升】此题是万有引力定律实际应用的典型实例，求解的关键是综合题中所给信息，充分理解题意，采用补全法求重力加速度反常量值，并结合几何关系等求解空腔深度和体积.
【拓展1】火星的质量和半径分别约为地球的度为g，则火星表面的重力加速度约为( B )
A.0.2g B.0.4g C.2.5g D.5g
【解析】考查万有引力定律.星球表面重力等于万有引力，即G
Mm＝mg，故2R11和，地球表面的重力加速1022g火M火R地?火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值＝0.4，故B正2gM地R火确.
2.天体的质量与密度的计算
【例2】登月飞行器关闭发动机后在离月球表面112 km的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期是120.5 min.已知月球半径是1 740 km，根据这些数据计算月球的平均密度.(G＝6.67× 10－11 N?m2/kg2)
Mm4π2?m2(R?h) 【解析】根据牛顿第二定律有G
(R?h)2T从上式中消去飞行器质量m后可解得
4×3.14×(1 852×10)4π2(R?h)322
M＝＝－1132 kg＝7.2×10 kg
6.67×10×(7.23×10)GT2根据密度公式有
M3×7.2×10223M333
ρ＝＝＝63 kg/m＝3.26×10 kg/m 3V4πR4×3.14×(1.74×10)
【思维提升】要计算月球的平均密度，首先应求出月球的质量M.飞行器绕月球做匀速圆周运动的向心力是由月球对它的万有引力提供的.
【拓展2】(2009?全国Ⅰ)天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍.已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11 N?m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为( D )
A.1.8×103 kg/m3 B.5.6×103 kg/m3 C.1.1×104 kg/m3 D.2.9×104 kg/m3
M
【解析】由ρ＝知该行星的密度是地球密度的5.32倍.对近地卫星有
VM4GMm2π23π33
，再结合ρ＝，V＝πR可解得地球的密度ρ＝＝5.6×10 ?mR()V3TR2GT2kg/m3，故行星的密度ρ′＝5.32×ρ＝2.96×104 kg/m3，D正确.
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3.万有引力定律的应用
【例3】从地球上发射的两颗人造地球卫星A和B，绕地球做匀速圆周运动的半径之比为RA∶RB＝4∶1，求它们的线速度之比和运动周期之比.
【错解】卫星绕地球做匀速圆周运动所需向心力为
v2F向＝mg＝m
R2
33
设A、B两颗卫星的质量分别为mA、mB，则
2vAmAg＝mA
RA
① ②
2vBmBg＝mB
RB2vAvAR由①②式解得2?A，所以＝vBvBRBRA
＝2 RB
又T＝
TARAvB12πR，所以＝·＝4×＝2
TBRBvA2v【错因】这里错在没有考虑重力加速度与高度有关.根据万有引力定律知 mAgA＝GmBgB＝G
M地mA 2RAM地mB 2RB
③
④
2gARB1
由③④式解得＝2＝
gBRA16
所以gA＝
1gB 16
可见，在“错解”中把A、B两卫星的重力加速度gA、gB当做相同的g来处理是不对的.
【正解】卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有
2M地mAvAA：FA向＝G＝mA
2RARA2M地mBvBB：FB向＝G＝mB
2RBRB2RA
⑤ ⑥
RB1＝ RA2
RBvA
由⑤⑥式解得2＝，所以＝RAvBVBTAvBRA242πRA2πRB根据TA＝，TB＝可知＝·＝·＝8∶1
TBvARB11VAVB【思维提升】我们在研究地球上的物体的运动时，地面附近物体的重力加速度近似看做是恒量.但研究天体运动时，应注意不能将其认为是常量，随高度变化，g值是改变的.
高三物理第一轮复习万有引力定律及其应用
