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2024年高考数学二轮复习微专题（文理通用）
多题一解之三点共线篇
【知识储备】 1、共线向量定理：
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b=λa。
→→→
2、A，B，C三点共线，O为A，B，C所在直线外一点，则OA=λOB＋μOC且λ＋μ=1。
→1→1→
特别，当A为线段BC中点时，OA=OB＋OC。
223．向量共线的坐标表示：
若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1=0。
x1y1
提示：a∥b的充要条件不能表示成=，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1=0。
x2y2
【走进高考】
x2y2【例】【2024年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，
abuuuruuuruuuruuuur过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A?AB，F1B?F2B?0，则C的离心率为____．
3【例】【2024年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，
2B，与x轴的交点为P．
uuuruuur（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若AP?3PB，求|AB|．
x2y2【例】【2016年全国III】已知O为坐标原点，F是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左焦点，A，B分别为
abC的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
A．
13
B．
12
C．
23
D．
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【例】【广东高考】设圆C与两圆(x?5)2?y2?4,(x?5)2?y2?4中的一个内切，另一个外切． （1）求C的圆心轨迹L的方程；
2
1
（2）已知点M(35,45),F(5,0)，且P为L上动点，求MP?FP的最大值及此时点P的坐标．
55【典例分析】 基本题型：
uuuruuuruur【例】【2024·全国高一课时练习】已知O是坐标原点，OA??k,12?，OB??4,5?，OC??10,k?，试求实
数k为何值时，A，B，C三点共线.
三点共线与椭圆相结合：
x2y2【例】【2024·福建省福州第一中学高三月考（理）】已知椭圆E:2?2?1?a?b?0?的右焦点为F，点Mab是椭圆E上任意一点，点A?0,b?，若?AMF的周长的最大值是6b，则椭圆E的离心率是______.
【例】【2024·福建高三期末（理）】已知M是圆O：x2?y2?4上的动点，设M在x轴上的射影为H，动点
uuuv1uuuuvN满足HN?HM，N的轨迹为E.
2（1）求E的方程；
（2）圆O及曲线E与y轴的四个交点，自上而下记为A，B，C，D，直线AM，DM与x轴分别交于P，Q（P,Q为相异两点），直线BP与E的另一个交点为T，求证：C，Q，T三点共线.
x2y2【例】【2024·河北张家口一中高二期末】设F1，F2是椭圆??1(0?b?2)的左、右焦点，过F1的直线
4b2交椭圆于A，B两点，若AF2?BF2最大值为5，则椭圆的离心率为（ ）
1A．
2
2
B．2 2C．5?1 2D．3 21
三点共线与直线相结合：
【例】【2024·江苏省高二期末】）已知点P?4,1?关于直线l:x?2y?3?0的对称点为Q. （1）求点Q的坐标；
（2）若点N在直线l上，点O为坐标原点，在下列条件下求点N的坐标；
①|ON|?|NP|最小； ②|ON|?|NP|最小
【例】已知直线l：x－2y＋8=0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小，则点P坐标为_______．
【例】【2024·湖南高三开学考试】已知A（3，﹣1），B（5，﹣2），点P在直线x+y=0上，则|PA|+|PB|取最小值是（ ）
A．1
三点共线与抛物线相结合：
如果抛物线y2?4x的焦点为F．【例】【2024·北京高二期末】点M为该抛物线上的动点，又点A(?1,0)．那么|MA|的最大值是( )
|MF|B．217?153 5C．17
D．2
1A．
2B．2 2C．3 2D．1
【例】【2024·湖北省高三期末】已知点A(0,1),C(0,5),动点M的轨迹为x2?4y,动点N满足NC?2,则
|MN|?
1|NA|的最小值为_____. 23
【例】已知抛物线y2=2x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为( )
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A．1 B．2 C．3 D．4
2
专题06三点共线-2024年高考数学多题一解篇(文理通用)(原卷版)
