第三章 平面问题的直角坐标解答
【3-4】试考察应力函数??ay3在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)
【解答】⑴相容条件:
不论系数a取何值，应力函数??ay3总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).
⑵求应力分量
当体力不计时，将应力函数?代入公式(2-24)，得
yOxhl图3-8?x?6ay,?y?0,?xy??yx?0
⑶考察边界条件
上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上；
当a>0时，考察?x分布情况，注意到?xy?0，故y向无面力 左端:fx?(?x)x?0?6ay ?0?y?h? fy???xy?x?0?0
右端:fx???x?x?l?6ay (0?y?h) fy?(?xy)x?l?0 应力分布如图所示，当l主矢，主矩
Oh时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为
A xfxyfx
主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。 偏心距e：
eePP因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：
ppe(?x)A??2?0?e?h/6
bhbh/6同理可知，当a<0时，可以解决偏心压缩问题。
Fxy(3h2?4y2)，能满足相容方程，并求出应32h力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画
【3-6】试考察应力函数??出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。
Oh/2h/2xyl图3-9(lh)【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）
?4??4??4??222?4?0，显然满足 4?x?x?y?y（2）将?代入式（2-24），得应力分量表达式
3F4y212Fxy(1?2) ?x??,?y?0,?xy??yx??32hhh（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力： h①在主要边界上（上下边界）上，y??，应精确满足应力边界条件式
2（2-15），应力??y?y??h/2?0,??yx?y??h/2?0
h?h?h??因此，在主要边界y??上，无任何面力，即fx?y????0,fy?y????0
2?2?2??②在x=0，x=l的次要边界上，面力分别为：
3F?4y2?x?0:fx?0,fy??1-2?
2h?h?x?l:fx??12Flyh33F?4y2?,fy???1?2?
2h?h?因此，各边界上的面力分布如图所示：
③在x=0，x=l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：
x=0上 x=l上
x向主矢：FN1=?y向主矢：FS1=?主矩：M1=?h/2-h/2h/2?h/2h/2fxdy?0, FN2??fydy?F, FS2??h/2?h/2h/2fxdy?0fydy??Ffxydy??Fl?h/2?h/2h/2
fxydy?0, M2???h/2因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：
(a) (b)
因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。 【3-8】设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q（图3-10），试求应力分量。
【解答】采用半逆法求解。
由材料力学解答假设应力分量的函数形式。 (1)假定应力分量的函数形式。
根据材料力学，弯曲应力?y主要与截面的弯矩有关，剪应力
yhobxq?ghb图3-10?xy主要与截面的剪力有关，而挤压应力?x主要与横向荷载有关，本题横向荷载为零，则?x?0
(2)推求应力函数的形式
将?x?0，体力fx?0,fy??g，代入公式（2-24）有
?2??x?2?fxx?0
?y对y积分，得
???f?x? （a） ?y??yf?x??f1?x? （b）
其中f?x?,f1?x?都是x的待定函数。 （3）由相容方程求解应力函数。 将（b）式代入相容方程（2-25），得
d4f?x?d4f1?x?y??0 （c） 44dxdx在区域内应力函数必须满足相容方程，（c）式为y的一次方程，相容方程要求它有无数多个根（全竖柱内的y值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即
d4f?x?d4f1?x??0,?0 dx4dx两个方程要求
f?x??Ax3?Bx2?Cx,f1?x??Dx3?Ex2 （d）
f?x?中的常数项，f1?x?中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在?的表达式中成为y的一次项及常数项，不影响应力分量。将（d）式代入（b）式，得应力函数
??y?Ax3?Bx2?Cx???Dx3?Ex2? （e）
（4）由应力函数求应力分量
?2??x?2?fxx?0 （f）
?y?2??y?2?fyy?6Axy?2By?6Dx?2E??gy (g)
?x?xy(5)考察边界条件
?2?????3Ax2?2Bx?C (h)
?x?y利用边界条件确定待定系数A、B、C、D、E。 主要边界x?0上（左）：
??x?x?0?0,(?xy)x?0?0
将（f），（h）代入
??x?x?0?0，自然满足
(?xy)x?0??C?0 （i）
主要边界x?b上，
??x?x?b?0，自然满足
(?xy)x?b?q，将（h）式代入，得
(?xy)x?b??3Ab2?2Bb?C?q （j）
在次要边界y?0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：
?b0(?y)y?0dx???6Dx?2E?dx?3Db2?2Eb?0 （k）
0b??b0b0(?y)y?0xdx???6Dx?2E?xdx?2Db3?Eb2?0 （l）
0b0b(?yx)y?0dx????3Ax2?2Bx?C?dx??Ab3?Bb2?Cb?0 （m）
由式（i），(j)，（k），（l），（m）联立求得
qqA??2, B?, C?D?E?0
bb代入公式（g），(h)得应力分量
?x?0, ?y?2qx?x?q?3?1?3??gy, ??xx?2xy???? b?b?b?b?【3-11】设图3-13中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为?，试用纯三次式的应力函数求解。
【解答】采用半逆解法求解
(1) 检验应力函数是否满足相容方程（2-25）
设应力函数?=Ax3?Bx2y?Cxy2?Dy3，不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程（2-25）
(2) 由式（2-24）求应力分量
由体力分量fx?0,fy??g，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量：
?2??x?2?fxx?2Cx?6Dy （a）
?y?2??y?2?fyy?6Ax?2By??gy （b）
?y?2??xy????2Bx?2Cy （c）
?x?y（3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。 ①对于主要边界y?0，其应力边界条件为：
弹性力学简明教程(第四版)_第三章_课后作业题答案
