15－?＝， 所以g(x)max＝g??2?253
所以≤m2＋m，
22
5
即2m2＋3m－5≥0，解得m≤－或m≥1，
25
所以实数m的取值范围是m≤－或m≥1.
23.(2019·全国Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1. (1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；
1
(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.
3(1)解 由于
[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]， 4
故由已知，得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，
3511
当且仅当x＝，y＝－，z＝－时，等号成立.
3334
所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为. 3
(2)证明 由于[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]， 故由已知，得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥
?2＋a?2
， 3
4－a1－a2a－2
当且仅当x＝，y＝，z＝时，等号成立.
333?2＋a?2
因此(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为.
3?2＋a?21
由题设知≥，解得a≤－3或a≥－1.
33
B组 能力提高
4.(2019·樟树九校联考)已知函数f(x)＝|x＋2|－|2x－1|. (1)求f(x)>－5的解集；
(2)若关于x的不等式|b＋2a|－|2b－a|≥|a|(|x＋1|＋|x－m|)(a，b∈R，a≠0)能成立，求实数m的取值范围.
解 (1)f(x)＝|x＋2|－|2x－1|
?13x＋1，－2≤x≤，＝?2
，?3－x，x>12
x－3，x<－2，
11???x<－2，－2≤x≤，x>，???22
可得?或?或?
????x－3>－5?3x＋1>－5?3－x>－5，
解得x∈(－2,8)，
故f(x)>－5的解集为(－2,8).
(2)由|b＋2a|－|2b－a|≥|a|(|x＋1|＋|x－m|)(a≠0)能成立， |b＋2a|－|2b－a|得≥|x＋1|＋|x－m|能成立，
|a|b??2b?即??a＋2?－?a－1?≥|x＋1|＋|x－m|能成立， b
令＝t， a
则|t＋2|－|2t－1|≥|x＋1|＋|x－m|能成立， 即(|t＋2|－|2t－1|)max≥(|x＋1|＋|x－m|)min. 5
由(1)知，|t＋2|－|2t－1|≤，
2又∵|x＋1|＋|x－m|≥|1＋m|，
当且仅当(x＋1)(x－m)≤0时等号成立， 5
∴|1＋m|≤，
273∴－ ≤m≤，
22
73
－，?. ∴实数m的取值范围为??22?5.(2019·保山质检)已知函数f(x)＝|2x－2|－|x＋1|.
(1)作出函数y＝f(x)的图象；
(2)若不等式f(x)≥ax＋b的解集是实数集R，求2a＋b的取值范围. 解 (1)将f(x)去掉绝对值转化为分段函数， －x＋3，x<－1，??
得f(x)＝?－3x＋1，－1≤x<1，
??x－3，x≥1，作出它的图象如图1所示.
(2)如图2，点A的坐标为(1，－2)，
“不等式f(x)≥ax＋b的解集是实数集R”等价于“对任意的x∈R，f(x)≥ax＋b都成立”，等价于“函数f(x)图象上所有的点都在直线y＝ax＋b的上方或在直线y＝ax＋b上”，
????a＝0，?0 等价于?或?或? ?b≤－2??a×1＋b≤－2，??a×1＋b≤－2???－1≤a≤1，整合三类情形得? ?a＋b＋2≤0.? ??－1≤a≤1， 在平面直角坐标系aOb中作出不等式组? ??a＋b＋2≤0 表示的可行域，如图3所示. 记2a＋b＝z，即b＝－2a＋z， 当直线l：b＝－2a＋z经过B(1，－3)时，直线l在y轴上的截距最大， (2a＋b)max＝zmax＝2×1－3＝－1， 从图形可知，截距z的取值范围是(－∞，－1]， 所以2a＋b的取值范围是(－∞，－1].
板块2 核心考点突破拿高分 专题7 第2讲 不等式选讲（大题）（教师版）备战2020年高考理科数学二轮复习提分
