板块2 核心考点突破拿高分 专题7 第2讲 不等式选讲（大题）（教师版）备战2020年高考理科数学二轮复习提分

1

由－6x<6，解得x>－1，∴－1

311

当－≤x≤时，f(x)＝3x＋1－3x＋1＝2，

33又2<6恒成立， 11∴－≤x≤；

33

1

当x>时，f(x)＝3x＋1＋3x－1＝6x，

31

由6x<6，解得x<1，∴

3综上，f(x)<6的解集M＝{x|－1

(2)证明 (ab＋1)2－(a＋b)2＝a2b2＋2ab＋1－(a2＋b2＋2ab) ＝a2b2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1). 由a，b∈M，得|a|<1，|b|<1， ∴a2－1<0，b2－1<0， ∴(a2－1)(b2－1)>0， ∴|ab＋1|>|a＋b|.

真题

(2019·全国Ⅰ，理，23)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明： (1)1a＋11

b＋c≤a2＋b2＋c2； (2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.

证明 (1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab＋bc＋ca111

abc＝a＋b＋c.

所以1a＋1b＋1

c

≤a2＋b2＋c2.

(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有 (a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3

3

?a＋b?3?b＋c?3?a＋c?3

体验

＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c) ≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac) ＝24.

所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.

押题

设函数f(x)＝|x＋1|－|2x－4|. (1)求不等式f(x)>2的解集；

(2)若关于x的不等式f(x)>t2＋2t的解集非空，求实数t的取值范围. 解 (1)由f(x)>2，得|x＋1|－|2x－4|>2，

???x<－1，???或??－1≤x≤2，或??x>2，等价为

?x－5>2 ??3x－3>2 ??－x＋5>2，

预测

5

可得x∈?或

35?5

即t2＋2t的解集非空， 可得t2＋2t

A组 专题通关

1.(2019·济南模拟)已知实数a>0，b>0，函数f(x)＝|x－a|－|x＋b|的最大值为3. (1)求a＋b的值；

(2)设函数g(x)＝－x2－ax－b，若对于任意的x≥a均有g(x)

∵a>0，b>0，∴a＋b＝3， (2)由(1)得，0

∴对于任意的x≥a，x－a≥0，x＋b>0， 此时f(x)＝x－a－x－b＝－3， 若对于任意的x≥a均有g(x)0在[a，＋∞)上恒成立， 即x2＋ax－a>0在[a，＋∞)上恒成立， a

对称轴x＝－<0，

2故只需a2＋a2－a>0即可，

11

解得a>，故

22

2.(2019·德州模拟)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－a|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)<3的解集；

3

(2)若不等式|x－2|＋|x－a|≤f(x)＋m2＋m恒成立，求实数m的取值范围.

2解 (1)a＝1时，函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－a| ＝|2x＋1|＋|x－1|，

1

当x≤－时，f(x)＝－(2x＋1)－(x－1)＝－3x，不等式f(x)<3化为－3x<3，

21

解得x>－1，所以－1

2

1

当－

2不等式f(x)<3化为x＋2<3，解得x<1， 1

所以－

2

当x≥1时，f(x)＝(2x＋1)＋(x－1)＝3x， 不等式f(x)<3化为3x<3， 解得x<1，所以x∈?；

综上，不等式f(x)<3的解集为{x|－1

3

不等式为|x－2|＋|x－a|≤|2x＋1|＋|x－a|＋m2＋m，

23

即|x－2|－|2x＋1|≤m2＋m，

2设g(x)＝|x－2|－|2x＋1|， 3

则g(x)max≤m2＋m，

2

?

由g(x)＝?－3x＋1，－1≤x≤2，

2

?－x－3，x>2，

1

x＋3，x<－，2